422. Лежат ли точки A, В, С и D в одной плоскости, если: а) А (-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С (- 1; - 1; -4), D (0; 0; 0); б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) A (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D(1; 1; -2)?

Рассмотрим векторы DA, DB, DC. а) Вычислим координаты векторов DA, DB и DC:

Запишем равенство

в координатах (условие компланарности):

Получаем равенство:

Признак компланарности векторов выполняется

По определению векторы DA, DB и DC компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. б) Определим координаты предполагаемых векторов:

Признак компланарности векторов в координатах:

Система не имеет решений, следовательно, условие компланарности векторов не исполняется, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. в) Рассмотрим векторы:

Признак компланарности векторов

в координатах x, y, z:

Подставляя эти значения в третье уравнение, получаем равенство:

Следовательно, векторы компланарны при

При этом все три вектора отложены из одной точки, значит, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.