755. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.

SH перпендикулярна плоскости ABCD.

Построим HK⊥AD, HL⊥DC, отрезки SL и SK. По теореме о трех перпендикулярах SL⊥DC и SK⊥AD.

Тогда, ∠SKH и ∠SLH — линейные углы двугранных углов при основании пирамиды. Из условий задачи ∠SKH=∠SLH=β. ΔSHK=ΔSHL (по катету и острому углу).

Точка Н равноудалена от сторон ромба ABCD, значит, является центром вписанной в ромб окружности.

Построим отрезок LO, точка О — центр вписанного шара, O∈SH. OL — биссектриса

∠SLH,

Из треугольника OHL:

ОН — радиус шара.