778. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

Проекция данного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ на плоскость α, перпендикулярную его диагонали А₁С, является правильным шестиугольником A'B'B₁'C₁'D₁'D'. Ребра куба, исходящие из вершин А₁ и С, образуют с α равные углы; обозначим их величины через φ.

В ΔAA₁C

Все стороны полученного шестиугольника равны каждая

Радиус окружности, в него вписанной,

равен

а сторона квадрата, вписанного в эту ок

ружность, равна

Этот квадрат лежит внутри этого шестиугольника. Поэтому через отверстие, направленное вдоль А₁С и проецируещееся в этот квадрат, можно протащить куб с ребром а.

Если сторону этого вписанного в окружность квадрата провести параллельно А'В' и продолжить его диагонали, то они пересекут стороны шестиугольника в вершинах квадрата, вписанного в этот шестиугольник и имеющего сторону, большую а. Через соответствующее отверстие можно протащить куб, больший данного.