73. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=10 см, BD= 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP.

Найдем точки пересечения пл. MNP с ребрами тетраэдра.

NP - средняя линия

поэтому

(теорема I).

Плоскости ABD и MNP имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой, проходящей через т. М в пл. ABD.

Эта прямая параллельна NP, а раз

то эта прямая параллельна BD.

Пусть K - точка пересечения этой прямой с ребром AD (раз BD пересекает AD, тогда прямая, параллельная BD пересечет AD).

поэтому точка K середина AD.

Утверждение доказано.

Аналогично получаем, что PK - средняя линия в ΔADC, поэтому

4-угольник MNPK - параллелограмм по определению.