460. Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной системе координат равны {|a|cosφ1; |a|cosφ2; |a|cosφ3}, где φ1=a^i, φ2=a^j, φ3=a^k.

Решение. Если вектор a имеет координаты {x; у, z}, то a = xi+yj+zk. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим ai = (xi+yj+zk) i = x (ii)+y (ji)+z(ki). Так как ii=1,ji = 0, ki = 0, то ai — x. С другой стороны, по определению скалярного произведения ai= |a| |i| cos φ₁ = |a| cos φ₁. Таким образом, x=|a| cos φ₁. Аналогично получаем равенства у=|a| cos φ₂, z=|a| cos φ₁.