109. Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

Доказательство

1. По условию, искомая прямая а есть линия пересечения двух плоскостей: АА₁С₁С и ВВ₁D₁D.

2. Проведем диагонали оснований параллелепипеда; они пересекаются в т. О₁ и т. О.

3.

Т. О₁ принадлежит тем же плоскостям. Следовательно, ОО₁ -прямая пересечения этих плоскостей (аксиома А₂).

4. Прямая а есть прямая ОО₁.

5. Основания параллелепипеда - равные параллелограммы; по свойству параллелограмма А₁О₁=О₁С₁ = =АО = ОС.

6. А₁О₁ОА - параллелограмм, значит,

7. Аналогично получаем, что

8. Проведем диагонали АС₁ и А₁С. Раз А₁С₁СА - параллелограмм, то А₁Т = ТС, АТ = ТС ₁, где Т - точка пересечения диагоналей.

9. ОТ - средняя линия АА₁СА; О₁Т - средняя линия ΔА₁СС₁.

по аксиоме о параллельных прямых в плоскости точ

ки О, О₁ и Т лежат на одной прямой, Т ∈ ОО₁, или Т ∈ а. Диагонали параллелепипеда и прямая а пересекаются в одной точке.