108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке.

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А₁, В₁ и C₁. Докажите, что отрезки АА₁, ВВ₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Отложим от т. D на ребрах DA, DB, DC равные отрезки: DA' = DB' = =DC' = a. Соединим точки A', B' и C' отрезками. Нарисуем ограниченную этими отрезками часть тетраэдра, для удобства «положив» его на одну из боковых граней.

Проведем биссектрисы двух углов при вершине D: DE и DF; проведем отрезки C'E и A'F.

В ΔA'DB' DA' = DB' и DE является медианой, следовательно, EA' = BE (т.к. A A'DB' равнобедренный).

поэтому

следовательно,

В ΔA'B'C' отрезки C'E и A'F являются медианами.

Чтобы на загромождать рисунок, не показана биссектриса ∠A'DC'. Если для нее повторить рассуждения, то убедимся, что отрезок, исходящий из B' в точку, где биссектриса пересечет сторону A'C', будет третьей медианой в ΔAB'C'. А три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Таким образом, плоскости DEC', DFA' и третья, не показанная на рисунке, пересекаются на рисунке по прямой DO.

Уберем ограничение, что DA' = DB' = DC'. Факт, что плоскости пересекаются по прямой DO, останется верным.

Равные отрезки от вершины D можно отложить в любом тетраэдре, поэтому на строгость (или общность) доказательства это повлиять не может.

Раз указанные плоскости пересекаются по прямой DО, то эта прямая пересечется с плоскостью основания в некоторой точке, значит, все три отрезка АА₁, СС₁ и ВВ₁ проходят через нее.

Что и требовалось доказать.