283. В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD.

а) Линия пересечения плоскости сечения и плоскости ABC параллельна ВС, поэтому проведем через центр О грани ABC линию МК, параллельно ВС. Аналогично проведем MN параллельно CD. Тогда MNK -- искомое сечение (рис. 180).

Заметим, что ΔMNK~ΔCDB, причем коэффициент подобия равен

где AH— медиана ΔBAC, так как точка O - точка пересечения медиан правильного треугольника ABC.

б) По задаче 261 AD⊥ВС. поэтому ребро ВС параллельно плоскости сечения аналогично п. а) проведем MK || СВ, а далее проведем MN ⊥ AD. Тогда МNК искомые сечения. Причем заметим, что MN = SK и, так как точка О — середина МК, то NO — высота ΔMNK (рис. 181).

Заметим, что

и в

полому

а катет противолежащий углу в 30 равен половине гипотенузы, поэтому

Так как ΔONA -- прямоугольный, то