808. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что

где V — объем многогранника, h — его высота, S₁ и S₂ — площади оснований, а S₃ — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудаленной от них.

Пусть О — какая-нибудь точка на среднем сечении данного многогранника. Разобьем его на пирамиды с вершиной О. Основаниями двух из них будут служить основания многогранника, основаниями остальных — треугольники, из которых состоят его боковые грани. Объемы первых двух пирамид:

Если ΔA₁B₁A₂ — один из

треугольников, на которые разбиты боковые грани, то среднее сечение пересечет его по средней линии A₃B₃ Тогда

Так как сумма площадей всех таких треугольников равна S₃, то сумма объемов всех пирамид с основаниями на боковых гранях

равна

Объем всего многогранника равен