508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D1B и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC?

По определению проекции прямая DD₁ перпендикулярна плоскости AВС, т.е. она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

а)

D₁D — направляющий вектор прямой D₁D;

D₁B — направляющий вектор прямой D₁B. Следовательно,

б) DD₁ также направляющий вектор прямой D₁D, DD₁ ⊥ (АВС), т.е. DD₁

⊥ ВС. BC — направляющий вектор прямой ВС. Тогда, DD₁ ⊥ BC . Т.к. D₁D=-DD₁, то угол φ₁ между DD₁ и плоскостью AВС равен: φ₁=180°-φ, где φ=90° — угол между D₁D и плоскостью AВС;

в) DA и BC — направляющие векторы прямых DA и ВС.

Если

то

Т.к. тетраэдр ABCD — правильный, то его вершина D проектируется в центр ΔАВС. Если провести в ΔАВС высоту AM, то высота тетраэдра DD₁ пересечется с высотой ΔАВС в точке D₁, тогда

1) СВ ⊥ AM, т.к. AM — высота ΔАВС;

2) СВ ⊥ DD₁, DD₁ ⊥ (АВС);

3) AM и DD₁ ∈ (DD₁A), прямые AM и DD₁ пересекаются.

Из 1), 2) и 3) следует, что СВ перпендикулярна плоскости DD₁C, значит, CB ⊥ DA, BC ⊥ DA.

г) DC и D₁B не перпендикулярны, т.к. прямые DC и D₁B не перпендикулярны. Если бы СD ⊥ D₁B, то по теореме, обратной к т. о трех перпендикулярах, CD₁ ⊥ D₁B. Но это прямые, содержащие медианы правильного треугольника. Они не перпендикулярны.