![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-228.png)
Следовательно,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-229.png)
Пусть треугольник ASB — осевое сечение конуса, OA = r — радиус его основания, ∠OAS— α, О1 — центр одного из шаров, С, — точка касания этого шара и конуса. Тогда в четырехугольнике A1AC1O1:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-230.png)
следовательно, ∠A1O1C1 = α, а так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-231.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-232.png)
Из ΔAOS:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-233.png)
из ΔO1A1A:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-234.png)
Подставляя эти значения в формулу
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-235.png)
получим после упрощений:
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-236.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-237.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-238.png)
При λ < 2 только этот корень положителен.
При λ > 2 оба корня положительны, но больший корень r2 оказывается большим, чем
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-239.png)
то есть радиус круга, описанного
около
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-240.png)
находятся внутри основания конуса и касание является не внешним, а внутренним;
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-241.png)
Источник:
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №801
к главе «Задачи повышенной трудности».
Комментарии