32. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Решение. Через точку А проведем** прямую AM, параллельную прямой а (рис. 18). Так как прямая а параллельна плоскостям α и β, то прямая AM лежит как в плоскости α, так и в плоскости β (п. 6, утверждение 2°). Таким образом, AM — прямая, по которой пересекаются плоскости α и β, т. е. она совпадает с прямой АВ. Следовательно, АВ||α.

** Выражения «проведем прямую», «проведем плоскость», разумеется, не нужно понимать в буквальном смысле (ни прямую, ни плоскость в пространстве мы не проводим). Эти слова означают, что указанная прямая или плоскость вводятся в рассмотрение.