624. Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Через точку пересечения диагоналей прямоугольника АВСD проведем прямую l, l перпендикулярна плоскости АВСD. Все точки на прямой l равноудалены от вершин А, В, С, D. (Если наклонные, проведенные из одной точки, имеют равные проекции, то сами наклонные равны РА=РВ=РС=РD, P ∈ l.)

Построим отрезок ОК⊥АВ, через точку О₁ проведем луч КО₁ . АВ ⊥ плоскости РОК. Прямая АВ лежит в плоскости прямоугольника ABEF АВ, значит плоскости РОК и ABEF взаимно перпендикулярны. Проведем через точку О₁ прямую m ⊥ плоскости ABEF.

Если две плоскости перпендикулярны и

к одной из них проведен перпендикуляр, который имеет общую точку с другой плоскостью, то этот перпендикуляр принадлежит в этой плоскости.

Таким образом, m ∈ плоскости РОК; m геометрическое место точек, равноудаленных от вершин прямоугольника ABEF: QA=QB=QE=QF Q∈m. Прямые l и m пересекаются в точка S, которая равноудалена как от вершин прямоугольник АВСD, так и от вершин прямоугольника ABEF.

Докажем, что точка S равноудалена от вершин А, В, С, D и вершин Е, F. Проведем отрезки SA, SE, SB.

ΔSAO₁=ΔSOB (они прямоугольные, SO — общий катет, ОА=ОВ по свойству диагоналей прямоугольника).

Отсюда SA=SB. Значит, SA=SB=SE

Доказано, что SA=SB=SE=SC=SD и SA=SB=SE=SF, следовательно, точка S равноудалена от всех вершин, значит, она является центром сферы, проходящей через все данные вершины.