477. Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°.

Введем прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим сторону квадрата через а, КК₁=b, где К₁ — точка пересечения диагоналей, или центр

квадрата. Тогда

Точка K₁— центр квадрата, следовательно,

тогда

Используя формулу скалярного произведения векторов, найдем длины

векторов BD и AK . Из прямоугольного треугольника BAD:

Из прямоугольного треугольника AKK₁, где

С другой стороны

Тогда, т. к. вектора ненулевые, то

Следовательно,

что и требовалось доказать.