![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-171.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-172.png)
Т. к.
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-173.png)
и
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-174.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-175.png)
аналогично
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-176.png)
Т. к.
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-177.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-178.png)
но
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-179.png)
следовательно,
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-180.png)
Аналогично доказывается, что
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-181.png)
Обратно, пусть
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-182.png)
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-183.png)
α - плоскость АВА1.
Так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-184.png)
а поскольку и по ус
ловию
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-185.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-186.png)
Так как
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-187.png)
но вместе с
тем
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-188.png)
Поскольку
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-189.png)
и
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-190.png)
то
![](https://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011hard-191.png)
то
есть ВВ0 совпадает с высотой ВВ1 тетраэдра.
Таким образом, высоты АA1 и ВВ1 тетраэдра пересекаются в точке H; аналогично и остальные высоты тетраэдра попарно пересекаются. Их точки пересечения совпадают, так как в противном случае все высоты тетраэдра лежали бы в одной плоскости.
Источник:
Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №792
к главе «Задачи повышенной трудности».
Комментарии