7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Пусть l₁ ∩ l₂ = M; n - произвольная прямая, М ∉ n и n пересекает l₁и l₂ в точках А и K, значит, через т. А и прямую l₂ можно провести единственную плоскость (по теореме п. 3). Поэтому отрезки АМ, AK и KM лежат в одной плоскости (по аксиоме А₂ п. 2), и прямые, которым принадлежат эти отрезки, лежат в одной плоскости.

Все прямые, проходящие через т. М, не лежат в одной плоскости. Если в теореме п. 3 речь идет только о двух пересекающихся прямых, через которые проходит единственная плоскость. Если прямых несколько, то утверждение неверно.

Например:

l₃ пересекает пл. α, но М ∈ l₃ Ответ: нет.