249. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

а) Рассмотрим пирамиду РА1А3... Аn и пусть высота пирамиды РО. Заметим, что ΔPOA1 = ΔРОА2 по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум сторонам).

Значит

аналогично

Но это и означает, что точка О — центр описанной окружности. б) Так как ОА1 — проекция стороны РА1, то угол РА1O и есть угол между ребром РА1 и основанием. Но из равенства треугольников:

следует равенство углов между боковыми ребрами и плоскостью основания.

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс к учебнику Геометрия. 10-11 класс Л.С.Атанасян Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №249
к главе «Глава III Многогранники. § 2. Пирамида».

Все задачи

← 248. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды. →
Комментарии