767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из

767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из него указанным способом можно было склеить тетраэдр?

Пусть ΔABC со сторонами ВС = а, АС = b, АВ = с, углами ∠A = α, ∠В = β, ∠C = γ и радиусом описанного круга R перегнут по средним линиям A₁B₁, A₁C₁, B₁C₁. Вершины А, В, С опишут окружности соответственно с центрами А₂, В₂, С₂ и радиусами АА₂, ВВ₂, СС₂ в плоскостях, перпендикулярных средним линиям. Прямая, по которой пересекаются эти плоскости, пересечет плоскость треугольника в некоторой точке О, служащей точкой пересечения его высот AA₃, ВВ₃, СС₃. Для того, чтобы получился тетраэдр, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения A₄,B₄,C₄ этих окружностей с этой прямой (по одну сторону от плоскости треугольника) совпали, то есть чтобы ОА₄ = ОВ₄ = ОС₄.

следовательно,

Выражение симмет

рично относительно α, β, γ и, значит,

Оно положи

тельно лишь для остроугольного треугольника.