505*. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.

Пусть Е₁, Е₂, E₃, E₄ — середины ребер ВС, AD, АВ и DC. Точка О — середина отрезка E₁Е₂; Е₂Е₃ — средняя линия грани ABD.

Аналогично

Тогда

По условию OЕ₂=E₁O, тогда Е₄O=OE₃, таким образом О — середина отрезка E₃E₄.

Сложим эти два равенства. Получим:

Подставим (2) в (I):

значит,

Таким образом, точка О ∈ DM₁ и делит DM₁ в отношении 3:1, считая от вершины. Аналогично для других медиан.