398. Треугольники ABC, A1B1C1 и A2B2C2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А1А2, В1В2, С1С2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, А1В1С1 и A2B2C2 лежат на одной прямой.

398. Треугольники ABC, A1B1C1 и A2B2C2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А1А2, В1В2, С1С2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, А1В1С1 и A2B2C2 лежат на одной прямой.

O, O1, O2 — точки пересечения медиан (рис. 238). Тогда

Поэтому

Но О — центр тре угольника А1В1С1, поэтому

Таким образом.

Аналогично

Но это означает, что векторы OO1 и OO2 — коллинеарны, а значит прямые OO1 и OO2 параллельны. Так как есть общая точка, то эти прямые совпадают. Значит точки О, О1, О2 лежат на одной прямой.

Наверх