797. Найдите множество всех точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

Пусть SA, SB, SC — данные касательные к сфере радиуса R с центром О. ΔASO = ΔBSO = ΔSCO как прямоугольные по гипотенузе SO и катету R, следовательно, SA = SB = SC. ΔASB = ΔBSC = ΔCSA по двум катетам, поэтому АВ = ВС = AC. Перпендикуляры, опушенные из S и О на плоскость ABC, пройдут поэтому через центр О, окружности, описанной около ΔАВС, и совпадут. Если SA = а, то из треугольника ABS: АВ = а√2.

Так как O₁А — радиус описанного около треугольника ABC круга, то

следовательно,

Искомое множество — сфера, центр которой совпадает с центром данной сферы, а радиус равен