86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD1. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВ1 и СВВ1 прямые, то построенное сечение — равно

86. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD₁. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВ₁ и СВВ₁ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Плоскость сечения параллельна BD₁, если она проходит через прямую, параллельную BD₁ (теорема I). В плоскости BD₁D проводим ОМ || D₁B; проводим отрезки АМ и СМ.

АМС || BD₁ по построению, значит, АМС - искомое сечение.

Если основание - ромб и ∠ABB₁ = ∠СВВ₁ = 90^о, AD = DC, то ΔADM и ΔDMC - прямоугольные. MD - общий катет. ΔDMA = ΔDMC, таким образом МА = МС. В ΔАМС МА = МС, значит, ΔАМС - равнобедренный.

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №86
к главе «Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §4 Тетраэдр и параллелепипед.».

Все задачи

← 85. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра АА1, a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение— параллелограмм.

87. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АА1, AD1 б) СС1, AD, ВВ1. →

Комментарии