455. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите косинус угла между векторами: а) АА1 и AC1; б) BD1 и DB1; в) DB и АС1.

Пусть сторона куба равна а, следовательно:

а) В прямоугольном треугольнике АА₁С₁ положим, АА₁= =0, тогда

по теореме Пифагора.

б) Векторы

лежат в плоскости BB₁D, сечение куба этой плоскостью — это прямоугольник BB₁D₁D со сторонами а и а

По теореме косинусов в ΔB₁OD₁:

следовательно

в)

(no свойству

диагонали квадрата).

Следовательно, BD перпендикулярно плоскости АС₁С, тогда, BD ⊥ AC₁,