Начните вводить часть условия (например, могут ли, чему равен или найти):
§ 20. Многогранники
- 1. Из точек А и В в гранях двугранного угла опущены перпендикуляры AA1 и ВВ2 на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА1=а, ВВ1=b1 А1В1=с и двугранный угол равен α1.
- 2. У трехгранного угла (аbс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен φ, а плоский угол (bс) равен γ (φ,у< π/2). Найдите два других плоских угла α = ∠ (ab), β = ∠(ac)
- 3. У трехгранного угла один плоский угол равен γ, а прилегающие к нему двугранные углы равны φ (φ < π/2). Найдите два других плоских угла α и угол β, который образует плоскость угла γ с противолежащим ребром.
- 4. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны α, а третий угол равен γ. Найдите двугранные углы φ, противолежащие плоским углам α, и угол β между плоскостью γ и противолежащим ребром.
- 5. Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям.
- 6. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?
- 7. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания.
- 8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.
- 9. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания.
- 10. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы — 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро, и меньшую высоту основания.
- 11. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
- 12. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
- 13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений
- 14. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения.
- 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
- 16. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
- 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
- 18. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q Найдите площадь диагонального сечения.
- 19. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15 см, высота равна 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
- 20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
- 21. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м2, а полная поверхность — 40 м2. Найдите высоту.
- 22. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.
- 23. Расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра — 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
- 24. По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
- 26. У параллелепипеда три грани имеют поверхности 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
- 27. Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине?
- 28. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.
- 29. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
- 30. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.
- 31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.
- 32. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.
- 33. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12м. Найдите диагонали параллелепипеда.
- 34. В прямом параллелепипеде боковое ребро 1м, стороны основания 23дм и 11дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений.
- 35. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
- 36. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.
- 37. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами а1 = 7дм и а2 = 24дм.
- 38. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
- 39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.
- 40. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, b и с. Найдите линейные размеры параллелепипеда.
- 41. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.
- 42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
- 43. Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом α.
- 44. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол β. Найдите ее высоту.
- 45. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.
- 46. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см.
- 47. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечений диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
- 48. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
- 49. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота — 21 дм.
- 50. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на ее основании.
- 51. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре.
- 52. Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых ребер.
- 53. У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.
- 54. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади оснований.
- 55. Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м2?
- 56. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.
- 57. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания — 8 см. Найдите боковое ребро.
- 58. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите двугранный угол х при основании пирамиды.
- 59. По данной стороне a и боковому ребру b найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
- 60. По данной стороне основания а и высоте b найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
- 61. По стороне основания а и высоте b найдите полную поверхность правильной пирамиды:
- 62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус окружности, вписанной в основание, r.
- 63. В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а полная поверхность — 18 м2 Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
- 64. По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
- 65. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания Q, а двугранные углы при основании φ.
- 66. Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.
- 67. Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
- 68. В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность —16 см2.
- 69. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
- 70. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
- 71. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4дм и 1дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.
- 72. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований — 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.
- 73. Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.
- 74. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего b. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.
- 75. Высота правильной четырехгранной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2см и 8см. Найдите площади диагональных сечений.
- 76. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8м, верхнего — 5м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сече
- 77. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.
- 78. Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота h, а стороны оснований а и b.
- 79. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
- 80. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.
- 81. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
- 82. Найдите двугранные углы октаэдра.
- 83. Какие плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр?
- 84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?
§21.Тела вращения
- 1. Радиус основания цилиндра 2 м, а высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
- 2. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
- 3. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
- 4. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.
- 5. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
- 6. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания.
- 7. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
- 8. Высота цилиндра 2 м. Радиус основания 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат — так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.
- 9. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.
- 10. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту.
- 11. Радиус основания конуса R. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
- 12. В равностороннем конусе (осевое сечение — правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.
- 13. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.
- 14. Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. Через вершину конуса проведена плоскость под углом φ к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.
- 15.
- 16. Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания ?
- 17. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей l. Найдите длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.
- 18. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию, расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 см. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса.
- 19. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4м. Найдите образующую.
- 20. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту Н.
- 21. Образующая усеченного конуса равна 2a и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите радиусы.
- 22. Радиусы оснований усеченного конуса 3дм и 7дм, образующая 5дм. Найдите площадь осевого сечения.
- 23. Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2, через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
- 24. Площадь оснований усеченного конуса M и m. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
- 25. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
- 26. В конусе даны радиус основания R и высота H. Найдите ребро вписанного в него куба.
- 27. В конусе даны радиус основания R и высота H. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты Найдите ребро призмы.
- 28. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна поло
- 29. Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9дм от центра. Найдите площадь сечения.
- 30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
- 31. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
- 32. Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60°?
- 33. Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1ч. вследствие вращения Земли вокруг своей оси?
- 34. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.
- 35. Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки, которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
- 36. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.
- 37. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
- 38. Имеется тело, ограниченное двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.
- 39. Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника
- 40. Стороны треугольника 13см, 14см и 15см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5см.
- 41. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
- 42. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов r1 и r2 Найдите радиус шара R.
- 43. Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей l к плоскости нижнего основания конуса равен α. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
- 44. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии l, по которой пересекаются их поверхности.
- 45. Радиусы шаров 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии l, по которой пересекаются их поверхности.
- 46. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром а.
- 47. Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
- 48. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.
- 49. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
- 50. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
- 51. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
- 52. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы при: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6.
- 53. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен φ. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
- 54. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α.
§22. Объемы многогранников
- 1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
- 2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
- 3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличивается на 98 см3. Чему равно ребро куба?
- 4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
- 5. Кирпич размером 25х12х6,5 имеет массу 3,51кг. Найдите его плотность.
- 6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5м х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
- 7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15м, 50м и 36м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
- 8. Измерения прямоугольного бруска 3см, 4см и 5см. Если увеличить каждое ребро на X сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится объем?
- 9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса погонного метра трубы (плотность чугуна 73 г/см3)?
- 10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью — угол β?
- 11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
- 12. В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см и 5см образуют угол 45°. Меньшая диагональ равна 7см. Найдите его объем.
- 13. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2 Найдите объем параллелепипеда.
- 14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N. В основании лежит ромб.
- 15. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1м. Одно из боковых ребер равно 2м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
- 16. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
- 17. Каждое ребро параллелепипеда равно 1см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
- 18. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда.
- 19. По стороне основания a и боковому ребру b найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
- 20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2см. и толщиной 0,7см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
- 21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
- 22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.
- 23.В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2м. Найдите объем призмы.
- 24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l.
- 25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26м, 25м и 17м. Найдите объем призмы.
- 26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4м и высотой 1,2м. Скорость течения воды 2м/с.
- 27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижнем основанием 14м, верхним 8м и высотой 3,2м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1км насыпи.
- 28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4см, 5см и 7см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
- 29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4см2, а площади боковых граней — 9 см2, 10 см2 и 17 см2. Найдите объем.
- 30. Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2см, а две другие — по 3см. Боковое ребро равно 4см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
- 31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
- 32. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами α и β и острый угол между диагоналями равен γ ?
- 33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной, 2) четырехугольной, 3) шестиугольной.
- 34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.
- 35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно b. Найдите объем пирамиды.
- 36. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
- 37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
- 38. По ребру а октаэдра найдите его объем.
- 39. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.
- 40. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
- 42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно l и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы α и β. Найдите объем пирамиды.
- 43. Найдите объем пирамиды, имеющий основанием треугольник, два угла которого α и β; радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом у.
- 44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадью оснований Q1 и Q2 (Q1>Q2) и высотой h.
- 45. В пирамиде с площадью основания Q1 проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения Q2Найдите высоту пирамиды.
- 46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.
- 47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.
- 48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
- 49. Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
§ 23. Объемы и поверхности тел вращения
- 1. 25м медной проволоки имеют массу 100,7г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3)
- 2. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80мм, а ход поршня 150мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
- 3. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в n раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в n раз?
- 4. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.
- 5. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.
- 6. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3 ) с толщиной стенок 4мм имеет внутренний диаметр 13мм. Какова масса 25 м этой трубы?
- 7. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня.
- 8. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса.
- 9. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания — с. Найдите объем конуса.
- 10. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем конуса.
- 11. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
- 12. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18м и диаметром основания 0,24м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
- 13. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a. Найдите объем полученного тела вращения.
- 14. Прямоугольный треугольник с катетами А и В вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела вращения.
- 15. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R1 и R2 (R1<R2), а высота h.
- 16. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42см и 25см.
- 17. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем.
- 18. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и r. Найдите объем этого конуса.
- 19. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4см и 22см, и равновеликий цилиндр имею одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания этого цилиндра? По условию объемы цилиндра и конуса одинаковы и их высоты равны, так что V=V' и h=h'.
- 20. По данным радиусам оснований R и r определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.
- 21. Чугунный шар регулятора имеет массу 10кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).
- 22. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметром 25см и 35см. Найдите диаметр нового шара.
- 23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см3)?
- 24. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено ?
- 25. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
- 26. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?
- 27. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делят его на части 3 см и9 см. На какие части делится объем шара?
- 28. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
- 29. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
- 30. Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра.
- 31. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см.
- 32. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.
- 33. Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?
- 34. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?
- 35. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.
- 36. Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см?
- 37. Шар радиусом 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела.
- 38. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепки уходит 10% материала?
- 39. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м в длину и 5,8м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
- 40. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.
- 41. В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?
- 42. Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
- 43. Крыша башни имеет форму конуса. Высота крыши 2м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
- 44. Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите боковую поверхность конуса
- 45. Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник)?
- 46. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
- 47. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.
- 48. Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
- 49. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор , у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца — 0,036 м и образующая — 1,42 м?
- 50. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы?
Комментарии