![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-507.jpg)
Проведем в пирамиде высоту SO и SH⊥DC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OH⊥DC. Тогда, так как ΔSDС равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой. Так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-508.jpg)
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-509.jpg)
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-510.jpg)
Далее в ΔSHO:
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-511.jpg)
Так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-512.jpg)
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-513.jpg)
Далее, ∠SBM=90°, так как этот вписанный угол опирается на диаметр SM. Знаем, что катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, так что ВS2=SМ⋅SO, так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-514.jpg)
Так как радиус описанного шара
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-515.jpg)
то
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-516.jpg)
Далее, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SOH. OO2=EO2 — радиус вписанного шара. Имеем ΔSHО ~ ΔSO2E:
Так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-517.jpg)
или
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-518.jpg)
Так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-519.jpg)
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-520.jpg)
Источник:
Решебник
по
геометрии
за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №50
к главе «§21.Тела вращения».
Комментарии