![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-501.jpg)
Пусть высота тетраэдра DО1 пересекает поверхность шара в некоторой точке М. Высота в правильной пирамиде проходит через центр окружности, описанной около основания. Так что O1С — радиус описанной около АВС окружности. ΔАВС равносторонний, так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-502.jpg)
Рассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку С. ΔDСM— прямоугольный, так как вписанный угол ∠DCM опирается на диаметр DM. Тогда катет DC — есть среднее геометрическое между
своей проекцией и гипотенузой. То есть
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-503.jpg)
В ΔO1DC:
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-504.jpg)
Тогда
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-505.jpg)
А радиус шара
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-506.jpg)
Источник:
Решебник
по
геометрии
за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №49
к главе «§21.Тела вращения».
Комментарии