48. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.

Пусть X точка касания шара и боковой грани ASB. Из точки X проведем прямую ХМ⊥О₁О₂, где О₁О₂ — диаметр шара, перпендикулярный плоскости основания. Тогда по теореме Пифагора в ΔОХМ:

где R — радиус шара.

Так что точки касания шара с боковыми гранями лежат в плоскости, перпендикулярной диаметру O1 O2 и на равном расстоянии от точки М.

Значит, все точки касания принадлежат вписанной в сечение, перпендикулярное О₁О₂, окружности с центром в точке М. Тогда, точка М лежит на оси правильной пирамиды, которая является высотой. Так что и точка О лежит на высоте правильной пирамиды. Что и требовалось доказать.