18. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда.

Основание параллелепипеда — прямоугольник ABCD со сторонами АВ=а и AD=b. Его площадь S=AB⋅AD=ab. Из точки A₁ проведем перпендикуляры А₁О к плоскости основания, а также A₁M⊥AD и А₁К⊥АВ. Тогда по теореме o трех перпендикулярах OM⊥AD и ОК⊥АВ. Далее, ΔАА₁М=ΔАА₁К(по гипотенузе и острому углу а).

Так что

Далее,

(АО общая сторона и АК=АМ). Так что

Тогда

В ΔAA₁O по теореме Пифагора получаем:

Тогда