![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-322.jpg)
Проведем ось SS1, которая перпендикулярна плоскости ABCD. Так как верхняя часть октаэдра — правильная пирамида, то О — центр окружности, вписанной в квадрат ABCD.
Обозначим ребро октаэдра х. Тогда
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-323.jpg)
Проведем SК и S1K, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем SK⊥DC и S1K⊥DC. Так что ∠SKS1 — линейный угол искомого двугранного угла.
Из правильного ΔSDC:
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-324.jpg)
, а из ΔS1DC:
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-325.jpg)
Далее, из прямоугольного δSOK по теореме Пифагора получаем:
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-326.jpg)
Так что
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-327.jpg)
По теореме косинусов в ΔSKS1:
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-328.jpg)
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-329.jpg)
Так что,
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-330.jpg)
Тогда
![](https://5terka.com/images/geom11pog2/geom11pog2-331.jpg)
Остальные двугранные углы равны найденному.
Источник:
Решебник
по
геометрии
за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №82
к главе «§ 20. Многогранники».
Комментарии