84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?

В октаэдре через пару противоположных вершин S₁ и S₂ проходят четыре плоскости симметрии (две из них проходят через ребра A₁S₁, и A₂S₁ а также B₁S₁ и B₂S₁.

Еще две плоскости проходят через ось S₁S₂ перпендикулярно ребрам A₁B₁ и A₂B₁, а также ребрам В₁А₂ и А₂В₂.

Далее, через пару противоположных вершин A₁, A₂ по тем же соображениям проходят четыре плоскости симметрии; но одна из них, проходящая через A₁S₁ и A₂S₁ уже была учтена.

Так что есть еще три плоскости симметрии.

Через пару противоположных вершин В₁В₂ проходят также четыре плоскости симметрии, но две из них уже были учтены. Значит, получим всего 4+3+2=9 плоскостей симметрии.

Правильный икосаэдр имеет 12 вершин.

Через первую пару противоположных вершин проходят пять плоскостей симметрии (каждая их них проходит через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному углу).

Далее, через вторую пару противоположных вершин также проходят 5 плоскостей, но одна из них подсчитана в первом случае, так что остаются новых четыре плоскости симметрии.

Для третьей пары получим — 3 новых плоскости, а для четвертой — две плоскости и для пятой пары только одна новая плоскость.

Через шестую пару вершин не пройдет ни одной новой плоскости симметрии.

Значит, всего 5+4+3+2+1=15 плоскостей симметрии. Правильный додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Так что плоскости симметрии проходят через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному ребру. Поэтому через первую пару противоположных пятиугольников проходит 5 плоскостей, через вторую пару — 4, через третью — 3, четвертую — 2, пятую — 1. Так что всего плоскостей симметрии 5+4+3+2+1=15.