8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

Пусть K, M и N данные точки.

Возможны три случая:

1) Точки K, M, N расположены так, что MN || DC и KM || MN. Тогда плоскость, проходящая через точки K, M и N параллельна плоскости грани ABCD, т.к. две пересекающие прямые KM и MN параллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда она будет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересекала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.

Тогда четырехугольник KMNO искомое сечение.

2) Точки K, M, N располагаются так, что КМ || ВС, но MN не параллельно DC. Тогда через точки M и N проведем прямую а, которая пересекает прямую DC в некоторой точке S.

Тогда S принадлежит сечению. Через точку S проведем прямую b || KM. Тогда b принадлежит сечению и b || BC, т.к. b || KM и КМ || ВС. Тогда АВ пересекает прямую b в некоторой точке X. Тогда Х принадлежит сечению.

А также можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечет А₁А в некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А значит, четырехугольник OKMN это искомое сечение.

Общий случай:

3) Когда точки К, M, N располагаются так, что MN не параллельно DC и KМ не параллельно MN. Тогда прямая MN пересечет прямую DC в некоторой точке F, прямая МК пересечет прямую ВС в некоторой точке X. Точки X и F принадлежат плоскости ABCD, а также искомому сечению, значит, плоскость ABCD и сечение пересекаются по прямой XF. Тогда прямая АВ, или прямая AD, или обе эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в точке S. Тогда точка S принадлежит и плоскости АА₁В₁В, а также сечению. Проведем прямую SK. Она пересечет ребро АА₁ в точке О. Так что MNOK искомое сечение.