41. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

Проведем перпендикуляр SO к плоскости основания и перпендикуляры SK, SM и SN к сторонам ΔABC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OK ⊥ BC, ОМ ⊥ АС и ON ⊥ AB.

Тогда, ∠SKO = ∠SMO = ∠SNO = 45° — как линейные углы данных двугранных углов.

А следовательно, прямоугольные треугольники SKO, SMO и SNO равны по катету и острому углу.

Так что OK=OM=ON, то есть точка О является центром окружности, вписанной в ΔАВС.

Выразим площадь прямоугольника АВС:

С другой стороны, S = p • r. Так что

Так как в прямоугольном треугольнике SOK острый угол равен 45°, то ΔSOK является равнобедренным и SO=OK=3 см. Ответ: 3 см.