79. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Обозначим центры граней куба С1, С2, С3, С4, С5, С6.

Каждая грань куба граничит с четырьмя другими, так что каждая из точек С будет соединена с четырьмя другими. Так как расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, в кубе одинаковы, то получим фигуру, имеющую 6 вершин, в каждой из которых сходится по n ребер, и все грани представляют собой правильные треугольники.

Значит, эта фигура — октаэдр.

Наоборот:

Обозначим центры граней октаэдра С₁, С₂, С₃, С₄, С₅, С₆, C₇, С₈.

Каждая грань октаэдра граничит с тремя другими, так что центр каждой грани будет соединен ребрами с тремя соседними

центрами. Так как расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, одинаковы, то получится фигура, имеющая восемь вершин; из каждой вершины выходят по три одинаковых ребра и все грани представляют собой квадраты.

Значит, эта фигура — куб.

Что и требовалось доказать.