Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов
Все главы

§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

• 1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.1
• 2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объясните.
• 3. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
• 4. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения.
• 5. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.
• 6. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
• 7. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
• 8. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.
• 9. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
• 10. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
• 11. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости.
• 12. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящий через три из этих точек? Объясните ответ.
• 13. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
• 14. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей

• 1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.
• 2. Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и b, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и b? Объясните ответ.
• 3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
• 4. Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
• 5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1 В1 и M1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1) АА1 = 5 м, ВВ1 = 7 м; 2) АА1 = 3,6 дм, ВВ1
• 6. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
• 7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1 Найдите длину отрезка ВВ1 если:1) СС1 = 15см, АС : ВС = 2 : 3;2) СС1 = 8,1см, АВ : АС = 1
• 8. Даны параллелограмм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В1, С1 и D1. Найдите длину отрезка DD1, если: 1) АА1 = 2 м, ВВ1 = 3 м, СС1 = 8 м; 2) АА1
• 9. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b?
• 10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
• 11. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
• 12. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.
• 13. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1.
• 14. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
• 15. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
• 16. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
• 17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.
• 18. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
• 19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
• 20. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?
• 21. Докажите, что геометрическое место середины отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым.
• 22. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.
• 23. Плоскости α и β параллельны плоскости γ Могут ли плоскости α и β пересекаться?
• 24. Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.
• 25. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
• 26. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
• 27. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD1C1 тоже параллелограмм.
• 28. Через вершины параллелограмма ABCD. лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1 тоже параллелограмм.
• 29. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1.
• 30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.
• 31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.
• 32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?
• 33. Даны две параллельные плоскости α1 и α2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через т. А проведена произвольная прямая. Пусть Х1
• 34. Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, по параллельная плоскости α.
• 35. Даны три параллельные плоскости α1, α2, α3. Пусть Х1, Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т.е. одинаково для любых двух прямых.
• 36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная этим прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.
• 37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
• 38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?
• 39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
• 40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
• 41. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
• 42. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей

• 1. Докажите. что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
• 2. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
• 3. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см; 3) АВ = b, ВС = а, AD = d; 4) BD = с, ВС = а, AD = d.
• 4. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника А1B1C1D1 соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
• 5. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной этой плоскости.
• 6. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершины треугольника.
• 7. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК.
• 8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = b, AD = с.
• 9. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.
• 10. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β.
• 11. Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
• 12. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.
• 13. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ; 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ.
• 14. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.
• 15. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины.
• 16. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м, от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
• 17. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.
• 18. Из точки S вне плоскости α проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.
• 19. Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.
• 20. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
• 21. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b.
• 22. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.
• 23. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найдите проекции наклонных.
• 24. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если:
• 25. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.
• 26. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
• 27. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекция катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
• 28. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции этих сторон.
• 29. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку АВ. Чему равно расстояние CD, если АВ = а, АС = b, BD = с?
• 30. Докажите, что расстояние от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
• 31. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.
• 32. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.
• 33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
• 34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
• 35. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
• 36. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и b.
• 37. Решите предыдущую задачу, считая. что отрезок АВ пересекает плоскость.
• 38. Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и на 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.
• 39. Через основание трапеции проведена плоскость, отстающая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости. если основания трапеции относятся как m : n.
• 40. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.
• 41. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.
• 42. Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояние от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < c, b < c). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.
• 43. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные длиной 2 м. найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.
• 44. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.
• 45. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
• 46. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
• 47. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
• 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.
• 49. Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а.
• 50. Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
• 51. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла.
• 52. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
• 53. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ= а, ВС=Ь, CD= с.
• 54. Даны прямая а и плоскость α. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости α.
• 55. Даны прямая а и плоскость α. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости α.
• 56. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восстановлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1B1, если АВ = 2 м, СА1 = 3 м; СВ1 = 7 м и отрезок А1B1 не пересекает плоскость треу
• 57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезок А1В1 не пересек
• 58. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.
• 59. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м;2) АС = 3 м, BD = 4 м, СD = 12 м;3) AD = 4 м, ВС =
• 60. Точка находится на расстоянии а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
• 61. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линия пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости в проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите р
• 62. Перпендикулярные плоскости а и в пересекаются по прямой с. В плоскости а проведена прямая а || с, в плоскости в — прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми b и с — 0,8 м.

§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве

• 1. Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю?
• 2. Даны точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(0;0;3), D(1;2;0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости yz?
• 3. Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
• 4. Найдите расстояния от точки (1;2;-3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.
• 5. В плоскости ху найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;-1), В(-1;0;1), С(0;-1;0).
• 6. Найдите точки, равноотстоящие от точек (0;0;1), (0;1;0), (1;0;0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
• 7. На оси х найдите точку С(х;0;0), равноудаленную от двух точек А(1;2;3), В(-2;1;3).
• 8. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А(1;2;3) и начала координат.
• 9. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(1;3;2), В(0;2;4), с(1;1;4), D(2;2;2) является параллелограммом.
• 10. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
• 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:
• 12. Даны один конец отрезка А(2;3;-1) и его середина С(1;1;1). Найдите второй конец отрезка В(х;у;z).
• 13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны:
• 14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(а;с;-Ь) и В(-а;d;b) лежит на оси у.
• 15. Докажите, что середина отрезка с концами в точках С(a;b;c) и D(p;q;-c) лежит в плоскости ху.
• 16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х' = х, у' = у, z' = -z.
• 17. Даны точки (1;2;3), (0;-1;2), (1;0;-3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
• 18. Даны точки (1;2;3), (0;—1;2), (1;0;—3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
• 19. Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.
• 20. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
• 21. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.
• 22. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.
• 23. Найдите значения а, b, c в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + b, z' = z + c, если при этом параллельном переносе точка А(1;0;2) переходит в точку А'(2;1;0).
• 24. При параллельном переносе точка А(2;1;-1) переходит в точку А'(1;-1;0). В какую точку переходит начало координат?
• 25. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если: 1) А(2;1;0), В(1;0;1), С(3; -2;1), D(2;-3;0); 2) А(-2;3;5), В(1;2;4), С(4;-3;6), D(7;-2;5); 3) А(0;1;2), В(-1;0;1), С(3;-2;2), D(2;-3;1)
• 26. Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.
• 27. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 совмещаются параллельным переносом.
• 28. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.
• 29. Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны.
• 30. Прямая а лежит в плоскости α, а прямая b перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми а и b?
• 31. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми СА и СВ, Если эти прямые образуют углы а и в с прямой АВ и α + β < 90°?
• 32. Прямые а, b, с параллельны одной и той же плоскости. Чему равен угол между прямыми b и с, если углы этих прямых с прямой а равны 60° и 80°?
• 33. Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
• 34. 1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами. 2) Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
• 35. Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
• 36. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
• 37. Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
• 38. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.
• 39. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
• 40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.
• 41. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
• 42. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
• 43. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
• 44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
• 45. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
• 46. Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cosα, если: 1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см; 2) АВ = 32 см, АС = 65 см, AD = 20 см, CD = 63 см
• 47. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
• 48. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
• 49. 1) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника АВС из задачи 46 на плоскость треугольника ABD. 2) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника АВD из задачи 46 на плоскость треугольника АВС.
• 50. Даны четыре точки А(2;7;-3), В(1;0;3), С(-3;-4;5), D(-2;3;-1). Найдите среди векторов AB^, BC^ , DC^, AD^, AC^ и BD^ равные векторы.
• 51. Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите точку D(x;y;z), если векторы AB и CD равны.
• 52. Найдите D(x;y;z), если сумма векторов AB и CD равна нулю. А(1;0;1), В(-1;1;2), С(0;2;-1).
• 53. Даны векторы (2, n,3)^ и (3,2, m)^. При каких m и n эти векторы коллинеарны?
• 54. Дан вектор a (1;2;3), найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А(1;1;1) и В на плоскости ху.
• 55. При каком значении n данные векторы перпендикулярны:
• 56. Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите на оси z такую точку D(0;0;с), чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.
• 57. Векторы a^ и b^ образуют угол 60°, а вектор с^ им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора a^ + b^ + с^ .
• 58. Векторы а^, b^ , c^ единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол между векторами:
• 59. Даны четыре точки А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0), D(2;-3;1). Найдите косинус угла φ между векторами АВ и CD.
• 60. Даны три точки А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.
• 61. Докажите, что угол φ между прямыми, содержащими векторы а^ и b^ , определяется из уравнения: |a^b^| = | а^ |•| b^ |•cosφ.
• 62. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла φ между векторами ВС и BD, если угол ABD равен α, а угол АВС равен β.
• 63. Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол φ между этой прямой и наклонной.
• 64. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы α с перпендикуляром. найдите угол φ между проекциями наклонных, если угол между наклонными β.