13. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ; 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ.

1) В плоскости αВМ проведем АА₁ || ВМ. Тогда АА₁ ⊥ AD (по признаку перпендикулярности прямых). АВ ⊥ AD (по условию), значит, AD перпендикулярна плоскости αВМ (по теореме 18.2).

2) В плоскости МВС проведем СС₁ || ВМ. Тогда CD ⊥ СС₁ (по признаку перпендикулярности прямых). CD ⊥ СС₁ и CD ⊥ ВС (по условию), значит, CD перпендикулярна плоскости МВС (по теореме 18.2). Что и требовалось доказать.

Источник:

Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №13
к главе «§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Все задачи

← 12. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.

14. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α. →

Комментарии