31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.

Пусть А — данная точка, ВСDЕ — данный параллелограмм. Рассмотрим плоскости BAC, CAD, DAE, EAB.

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей:

BC||B1C1, CD||C1D1, ED||E1D1, BE||B1E1.

Так что B1C1||BC||ED||E1D1, то есть B1C1||E1D1 и B1E1||BE||CD||C1D1 то есть B1E1||C1D1.

А, значит, B1C1D1E1 — также параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Источник:

Домашняя работа по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия. 10-11 класс» А.В. Погорелов Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №31
к главе «§ 16. Параллельность прямых и плоскостей».

Все задачи

← 30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.
32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а? →
Комментарии