34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Пусть АВ — данный отрезок, точка О — середина отрезка, через точку О проведена плоскость. Проведем АА₁ и ВВ₁ перпендикуляры на плоскость α.

По теореме 18.4 прямые АА₁ и ВВ₁, а вместе с ними и отрезок АВ и точка О лежат в одной плоскости.

Далее рассмотрим ΔАА₁О и ΔВВ₁О — они прямоугольные.

АО = ОВ — по условию, ∠А₁ОА = ∠B₁OB как вертикальные. Так что, ΔАА₁О = ΔВВ₁О, а, значит, АА₁ = ВВ₁. Что и требовалось доказать.