57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезок А1В1 не пересек

Пусть СК₁ - искомое расстояние. Тогда

(по теореме Пифагора), так как треугольник К₁KС прямоугольный (КК₁⊥АВ).

Далее АА₁ || КК₁ || ВВ₁ и лежат в одной плоскости, значит, АА₁В₁В — трапеция. Но тогда КК₁ — средняя линия, так как К₁ -середина А₁В₁.

Так что

Далее по теореме Пифагора в ΔВ₁ВС:

в ΔА₁АС:

тогда в ΔABC :

(радиус вписанной окружности), то есть