ГДЗ к Задачнику по Алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович и др.)
Все главы

Задачи на повторение

• 1. Найдите значение числового выражения:
• 2. Упростите выражение:
• 3. Решите уравнение:
• 4. Докажите тождество
• 5. Раскройте скобки в выражении, используя формулы сокращенного умножения:
• 6.
• 7. Найдите значение выражения:
• 8. Вычислите, используя приемы разложения на множители:
• 9. Разложите на множители:
• 10. Разложите на множители:
• 11. Докажите, что: а) 17⁶ + 17⁵ кратно 18; б) 3¹⁷ + 3¹⁵ кратно 90; в) 42⁸ + 42⁷ кратно 43; _Г) 2²³ + 2²⁰ кратно 72.
• 12. Вычислите, используя приемы разложения на множители:
• 13. Разложите на множители:
• 14. Разложите на множители:
• 15. Разложите на множители:
• 16. Сократите дробь:
• 17. Сократите дробь:
• 18. Сократите дробь:
• 19. Упростите выражение:
• 20. Упростите выражение:
• 21. Упростите выражение:
• 22. Упростите выражение:
• 23. Упростите выражение:
• 24. Решите систему уравнений:
• 25. Решите систему уравнений:
• 26. Вычислите:
• 27. Вынесите множитель из-под знака корня:
• 28. Внесите множитель под знак корня:
• 29. Упростите выражение:
• 30. Упростите выражение:
• 31. Упростите выражение:
• 32. Упростите выражение:
• 33. Упростите выражение:
• 34. Упростите выражение:
• 35. Упростите выражение и найдите его значение при x = 3, у = 3/4, n = 1/2.
• 36. Решите уравнение:
• 37. Решите уравнение:
• 38. Разложите на множители:
• 39. Сократите дробь:
• 40. Решите уравнение:
• 41. Решите уравнение:
• 42. Пешеход рассчитывал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 1,2 ч. Но он шел со скоростью, превышающей запланированную на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 1 ч. Найдите длину пути.
• 43. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно из них навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок.
• 44. Из города А в город В выехал велосипедист. Спустя 44 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Через 36 мин после своего выезда мотоциклист, обогнав велосипедиста, был на расстоянии 7 км от него.
• 45. Расстояние между пунктами A и B грузовой автомобиль должен был преодолеть за 3 ч. Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч и поэтому в конечный пункт прибыл на 12 мин раньше, чем предполагалось. Найдите первоначальную
• 46. На одно платье и три сарафана пошло 9 м ткани, а на три таких же платья и пять таких же сарафанов — 19 м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и на один сарафан?
• 47. Велосипедист проехал 15 км с определенной скоростью и еще 6 км со скоростью на 3 км/ч меньше первоначальной. На весь путь он затратил 1,5 ч. Найдите скорости велосипедиста, с которыми он ехал.
• 48. Расстояние между пунктами А и В по реке равно 2 км. Лодка совершает путь из А в В и обратно за 35 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
• 49. Завод по плану должен был к определенному сроку изготовить 180 станков. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?
• 50. При испытании новых двигателей было установлено, что первый израсходовал 320 г горючего, а второй — 270 г. Первый двигатель расходовал в час на 2 г горючего меньше, чем второй, и подвергался испытаниям на 5 ч больше. Определите расход горючего в час д
• 51. Груз массой 30 т планировалось перевезти машиной определенной грузоподъемности. Однако для перевозки удалось использовать машину, грузоподъемность которой на 2 т больше, чем предполагалось, поэтому полностью загруженной машиной было сделано на 4 рейса
• 52. Токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок. Однако он делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?
• 53. В двух школах поселка 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй — на 20%, в результате общее число учащихся стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально?
• 54. Швея получила заказ сшить 60 сумок к определенному сроку. Она шила в день на 2 сумки больше, чем планировалось, поэтому уже за 4 дня до срока ей осталось сшить только 4 сумки. Сколько сумок в день шила швея?
• 55. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.
• 56. Из города А в город В, расстояние между которыми равно 30 км, выехал грузовик. Через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что
• 57. Два туриста одновременно выехали из пунктов А и Б навстречу друг другу. Расстояние между А и Б равно 50 км. Встретившись через час, туристы продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в Б на 50 мин раньше, чем второй в А. Определите, с какой ско
• 58. Катер должен был пройти 36 км за определенный срок, но был задержан с отправлением на 18 мин, а потому, чтобы прибыть вовремя, шел со скоростью на 6 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. С какой скоростью шел катер?
• 59. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

§1. Линейные и квадратные неравенства

• 1.1. Является ли данное число а решением данного неравенства:
• 1.2. Решите неравенство:
• 1.3. Решите неравенство:
• 1.4. Решите неравенство:
• 1.5. Решите неравенство:
• 1.6. Решите неравенство:
• 1.7. Решите неравенство:
• 1.8. Решите неравенство:
• 1.9. При каких значениях х имеет смысл выражение:
• 1.10. Найдите область определения выражения f(x):
• 1.11. Найдите область определения выражения f(x):
• 1.12. Найдите область определения выражения f(x):
• 1.13. Найдите область определения выражения f(x):
• 1.14. Найдите область определения выражения f(x):
• 1.15. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x² - 2px - p + 6 = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней; г) имеет хотя бы один корень?
• 1.16. Являются ли равносильными заданные неравенства:
• 1.17. Решите неравенство:
• 1.18. Решите неравенство:
• 1.19. Решите неравенство:
• 1.20. Решите неравенство:
• 1.21 Решите неравенство:
• 1.22.Решите неравенство:
• 1.23. Найдите, при каких значениях параметра р уравнение (р + 4)х² + 2рх + 2 = 0 имеет: а) один корень; б) два корня; в) хотя бы один корень.
• 1.24. Найдите такое целочисленное значение параметра р, при котором во множестве решений неравенства (х + 2)(р - х) ≥ 0 содержатся: а) четыре целых числа; в) два целых числа; б) два натуральных числа; г) одно целое число.
• 1.25. Найдите такое натуральное значение параметра р, при котором во множестве решений неравенства (7 - х)(р - х) < 0: а) содержатся три натуральных числа; б) не содержится ни одного целого числа.
• 1.26. Найдите такое натуральное значение параметра р, при котором во множестве решений неравенства (x - 8)(p+x) ≤ 0 содержатся: а) десять целых чисел; б) два отрицательных целых числа; в) четыре целых неположительных числа; г) только положительные целы

§2. Рациональные неравенства

• 2.1. Решите неравенство:
• 2.2. Решите неравенство:
• 2.3. Решите неравенство:
• 2.4. Решите неравенство:
• 2.5. Решите неравенство:
• 2.6. Решите неравенство:
• 2.7. Решите неравенство:
• 2.8. Решите неравенство:
• 2.9. Решите неравенство:
• 2.10. Решите неравенство:
• 2.11. Решите неравенство:
• 2.12. Решите неравенство:
• 2.13. Решите неравенство:
• 2.14. Решите неравенство:
• 2.15. Решите неравенство:
• 2.16. Решите неравенство:
• 2.17. Решите неравенство:
• 2.18. Решите неравенство:
• 2.19. Решите неравенство:
• 2.20. Решите неравенство:
• 2.21. Решите неравенство:
• 2.22. Решите неравенство:
• 2.23. Решите неравенство:
• 2.24. Решите неравенство:
• 2.25. Решите неравенство:
• 2.26. Решите неравенство:
• 2.27. Решите неравенство:
• 2.28. Решите неравенство:
• 2.29. Решите неравенство:
• 2.30. При каких значениях х имеет смысл выражение:
• 2.31. Найдите область определения выражения:
• 2.32. Решите неравенство:
• 2.33. Решите неравенство:
• 2.34. Укажите целые решения неравенства:
• 2.35. Дано выражение у = f(х), где f(x) = х(х - 2)²(х + 1)³(х + 5). Найдите значения переменной, при которых:
• 2.36. Дано выражение у = f(х)
• 2.37. Найдите такое целое значение параметра р, при котором множество решений неравенства х²(х + 2)(р - х) ≥ 0 содержит: а) два целых числа; б) четыре целых числа; в) три целых числа; г) пять целых чисел.

§3. Множества и операции над ними

• 3.1. Множество задано словесным описанием. Задайте это множество, перечислив его элементы: а) цифры, которые больше 5; б) целые отрицательные числа, которые больше -7; в) четыре последние буквы русского алфавита; г) различные цифры года рождения и года ги
• 3.2. Множество задано перечислением своих элементов. Приведите какое-нибудь его словесное описание:
• 3.3. Запишите заданное множество в виде числового промежутка:
• 3.4. Верно ли, что:
• 3.5. Докажите, что заданное множество состоит из одного числа (элемента), и найдите это число:
• 3.6. Верно ли, что:
• 3.7. а) Решите уравнение х(х² + 19) + 6 = (2х + 3)(3х + 2) - х². б) Запишите множество М корней этого уравнения, перечислив его элементы в порядке возрастания. в) Запишите все возможные способы перечисления элементов множества М. г)
• 3.8. Дано множество |{-8,1; √2; 17/7}. Перечислите все его подмножества, состоящие из двух чисел: а) разного знака; б) положительных; в) рациональных; г) среди которых есть иррациональное число.
• 3.9. Дано множество А = {к, л, w}. Перечислите все его подмножества, состоящие: а) из одного элемента; б) из двух элементов; в) более чем из одного элемента; г) из элементов, среди которых есть буквы как русского, так и латинского алфавита.
• 3.10. Даны три множества А = {1, 2, 3, ... , 37}, В = {2, 4, 6, 8, ...}, С = {4, 8, 12, 16, ... , 36}. Верно ли, что: а) А ⊂ В; б) В ⊂ С; в) С ⊂ А; г) С ⊂ В?
• 3.11. На числовой прямой изобразите следующие промежутки:
• 3.12. Найдите пересечение А∩В множеств А и В: а) А — множество всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1, 2, 3, ... , 41}; б) А — множество всех нечетных целых чисел, В = {0, 3, 6, 9,..., 21}; в) А = {-11, -10, -9, ... , -1, 0, 1, ... , 9}, В — множе
• 3.13. а) А ∩ В; б) В ∩ С; в)А∩B∩D г) А ∩ В ∩ С ∩ D.
• 3.14. а) А ∪ В; б) А ∪ D; в) B ∪ D; г) A ∪ B ∪ C ∪ D,
• 3.15. Даны множества: А = {а, b, с, d}, В = {с, d, e, f}, С = (с, e, g, k}. Найдите множество: а) (А∩ В)∩ С; в) (А∪ Б)∩ С; б) (А ∩ В) ∪ С; г) (А ∪ B) ∪ С.
• 3.16. а) Найдите все натуральные числа, кубы которых — трехзначные числа; б) запишите множество М таких трехзначных чисел, перечислив их в порядке убывания; в) запишите множество А последних цифр элементов множества М, перечислив их в порядке возрастания;
• 3.17. Запишите заданное множество в виде числового промежутка: а) {х| 3(х + 1) - х² > 5};б) {х| 18(х² + 1) ≤ -85х}.
• 3.18. В записи «* ∈ {4, Δ, 9}» вместо значков * и Δ можно поставить любые цифры, меньшие 3. Будут получаться различные утверждения: 0 ∈ {4, 0, 9}, 1 ∈ {4, 2, 9} и т. п. а) Сколько получится утверждений, в которых на первом месте
• 3.19. Известно, что a, b, с, d — попарно различные числа. В записи «*□ {Δ, с, d}» на места * и Δ можно поставить числа а или b, а на место □ можно поставить знак ∈ или знак ∉. Будут получаться различные утверждения. а) С
• 3.20. Даны три числовых промежутка:
• 3.21. Множество А состоит из 99 элементов, множество В — из 199 элементов, а множество А ∩ В — из 73 элементов. Сколько элементов: а) принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству Б; б) принадлежит множеству В, но не принадлежит множеству А; в)
• 3.22. На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 учеников, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько уче
• 3.23. По плану застройки участок площадью 1500 м² состоит из двух пересекающихся прямоугольников, их пересечение отведено под гараж. Площадь первого прямоугольника равна 900 м², площадь второго — 700 м². Найдите площадь: а
• 3.24. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9-го класса читал книги А, Б, С. Результаты опроса выглядят так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В — 22 ученика, книгу С — 22 ученика; одну из книг А или Б прочитали 33 ученика, одну
• 3.25. Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, Б или С. При этом спектакли А, Б, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

§4. Системы рациональных неравенств

• 4.1. Является ли число 5 решением системы неравенств:
• 4.2. а) Какое из чисел -2; 0; 5; 6 является решением системы неравенств б) Какое из чисел -3; 1,5; 4,8 является решением системы неравенств
• 4.3. Решите систему неравенств:
• 4.4. Решите систему неравенств:
• 4.5. Решите систему неравенств:
• 4.6. Решите систему неравенств:
• 4.7. Решите систему неравенств:
• 4.8. Решите систему неравенств:
• 4.9. Решите систему неравенств:
• 4.10. Решите систему неравенств:
• 4.11. Решите систему неравенств:
• 4.12. Решите систему неравенств:
• 4.13. Решите систему неравенств:
• 4.14. Решите систему неравенств:
• 4.15. Решите двойное неравенство:
• 4.16. Решите двойное неравенство:
• 4.17. Решите двойное неравенство:
• 4.18. При каких значениях х: а) значения двучлена 3 - 5х принадлежат интервалу (-6; 6); б) значения дроби (2x+1)/3 принадлежат отрезку [-4; 0]?
• 4.19. а) Решите двойное неравенство 0<1 + 4х<17и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями. б) Решите двойное неравенство 0<1-5х<13 и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями
• 4.20. Найдите область определения выражения:
• 4.21. Решите систему неравенств:
• 4.22. Решите систему неравенств:
• 4.23. Решите систему неравенств:
• 4.24. Решите систему неравенств:
• 4.25. Решите систему неравенств:
• 4.26. Решите систему неравенств:
• 4.27. Решите систему неравенств:
• 4.28. Найдите область определения выражения:
• 4.29. Найдите область определения выражения:
• 4.30. Найдите область определения выражения:
• 4.31. Найдите середину промежутка, служащего решением системы неравенств:
• 4.32. а) Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств б) Найдите наименьшее и наибольшее целые числа, удовлетворяющие системе неравенств
• 4.33. Найдите все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:
• 4.34. Решите систему неравенств:
• 4.35. Решите систему неравенств:
• 4.36. Решите неравенство:
• 4.37. Решите неравенство:
• 4.38. При каких значениях параметра р система неравенств имеет решения; не имеет решений:
• 4.39. Укажите все значения параметра р, при которых решением системы неравенств является промежуток:
• 4.40. При каких значениях параметра р неравенство (р - 2)х² - (р - 4)х + (3р - 2) > 0: а) не имеет решений; б) выполняется при любых значениях х?

КР.1 Вариант 1

• 1. Множество М состоит из всех двузначных чисел, которые при делении на 11 дают остаток 7. Задайте множество М, перечислив все его элементы.
• 2. Приведите какое-нибудь словесное описание множества М = { 1, 4, 9, 16, 25, ... , 81}.
• 3. Для множеств А = [1; 5), В = [4; 6] и С = (-3; 2] найдите множество (A ∪ B) ∩ С.
• 4. Решите неравенство
• 5. Найдите область определения выражения
• 6. Решите неравенство
• 7. Дано выражение. Найдите значения переменной, при которых f(x) ≥ 0.
• 8. Решите систему неравенств
• 9. Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства. Укажите середину отрезка. -3 <= (5+3x)/4 <= -1
• 10. Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

КР.1 Вариант 2

• 1. Множество М состоит из всех двузначных чисел, которые можно записать в виде п² + 10, где п — натуральное число. Задайте множество М, перечислив все его элементы.
• 2. Приведите какое-нибудь словесное описание множества М = { 10, 19, 28, 37, 46, ... , 91}.
• 3. Для множеств А = [1; 4), В = [2; 5] и С = (3; 7] найдите множество (А ∩ В) ∪ С,
• 4. Решите неравенство
• 5. Найдите область определения выражения
• 6. Решите неравенство
• 7. Дано выражение. Найдите значения переменной, при которых f(x) ≤ 0.
• 8. Решите систему неравенств
• 9. Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства. Укажите середину отрезка. 2 <= (4x-7)/5 <= 4
• 10. Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

§5. Основные понятия

• 5.1. Является ли пара чисел (3; 1) решением уравнения:
• 5.2. Какая из следующих пар чисел является решением уравнения 2х² - у² = 1:
• 5.3. Найдите расстояние между точками А и В координатной плоскости:
• 5.4. Постройте график уравнения:
• 5.5. Постройте график уравнения:
• 5.6. Постройте график уравнения:
• 5.7. Найдите координаты центра и радиус окружности:
• 5.8. Постройте график уравнения:
• 5.9. Постройте график уравнения:
• 5.10. Напишите уравнение окружности с центром в точке 0(0; 0) и радиусом:
• 5.11. Напишите уравнение окружности: а) с центром в точке А(1; 2) и радиусом 3; б) с центром в точке Б(-3; 8) и радиусом 11; в) с центром в точке С(0; -10) и радиусом 7; г) с центром в точке D(-5; -2) и радиусом 4.
• 5.12. Составьте уравнение окружности, изображенной: а) на рис. 1; б) на рис. 2; в) на рис. 3; г) на рис. 4.
• 5.13. Составьте уравнение окружности, изображенной: а) На рис. 5; б) на рис. 6; в) на рис. 7; г) на рис. 8.
• 5.14. Составьте уравнение окружности, изображенной: а) На рис. 9; в) на рис. 11; б) на рис. 10; г) на рис. 12.
• 5.15. Найдите решения уравнения:
• 5.16. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:
• 5.17. Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений
• 5.18. Решите графически систему уравнений:
• 5.19. Решите графически систему уравнений:
• 5.20. Сколько решений имеет система уравнений:
• 5.21. Решите графически систему уравнений:
• 5.22. Решите графически неравенство:
• 5.23. Решите графически неравенство:
• 5.24. Решите графически неравенство:
• 5.25. Составьте уравнение окружности: а) с центром в точке (-5; 2), касающейся оси у; б) с центром в точке (12; -5), проходящей через начало координат; в) с центром в точке (-4; -6), касающейся оси х; г) с центром в точке (2; 1), проходящей через точку (-
• 5.26. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если:
• 5.27. Составьте уравнение окружности: а) с центром на оси х, проходящей через точки (-4; 4) и (-2; 0); б) с центром на оси у, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2).
• 5.28. Постройте график уравнения:
• 5.29. Постройте график уравнения:
• 5.30. Найдите целочисленные решения уравнения:
• 5.31. Найдите целочисленные решения уравнения:
• 5.32. Найдите целочисленные решения уравнения:
• 5.33. Найдите двузначное число, которое в 6 раз больше суммы своих цифр.
• 5.34. Решите графически систему уравнений:
• 5.35. Решите графически систему уравнений:
• 5.36. При каком значении параметра р пара чисел (1; -2) является решением системы уравнений:
• 5.37. При каком значении параметра р система уравнений имеет одно решение:
• 5.38. При каком значении параметра р система уравнений имеет: а) три решения; б) одно решение?
• 5.39. Решите графически систему неравенств:

§6. Методы решения систем уравнений

• 6.1. Решите систему уравнений методом подстановки:
• 6.2. Решите систему уравнений методом подстановки:
• 6.3. Решите систему уравнений методом подстановки:
• 6.4. Решите систему уравнений методом подстановки:
• 6.5. Решите систему уравнений методом подстановки:
• 6.6. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
• 6.7. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
• 6.8. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
• 6.9. Решите систему уравнений методом замены переменных:
• 6.10. Решите систему уравнений методом замены переменных:
• 6.11. Решите систему уравнений, используя разные методы:
• 6.12.
• 6.13. Решите систему уравнений:
• 6.14. Решите систему уравнений:
• 6.15. Решите систему уравнений:
• 6.16. Решите систему уравнений:
• 6.17. Решите систему уравнений:
• 6.18. Решите систему уравнений:
• 6.19. Решите систему уравнений:
• 6.20. Решите систему уравнений:
• 6.21. Решите систему уравнений:
• 6.22. Решите систему уравнений:
• 6.23. Решите систему уравнений:
• 6.24. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки: а) А(3; 13), B(-7; -11), С(10; 6); б) А(7; -7), B(-2; -4), С(6; 0).

§7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

• 7.1. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. На
• 7.2. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течения за 2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
• 7.3. Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению 9 км, при этом по течению она шла 45 мин, а против течения — 1 ч 15 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
• 7.4. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.
• 7.5. Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.
• 7.6. Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение равно 481. Найдите эти числа.
• 7.7. Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
• 7.8. Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.
• 7.9. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения цифр?
• 7.10. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к заданному числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
• 7.11. Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по 1, то дробь станет равна 1/2, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146. Найдите исходную дробь.
• 7.12. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
• 7.13. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его гипотенуза равна 41 м. Найдите площадь треугольника.
• 7.14. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.
• 7.15. Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см², гипотенуза равна 37 см. Найдите периметр этого треугольника.
• 7.16. Турист проплыл на лодке по реке из города А в город В и обратно за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км.
• 7.17. Расстояние между двумя поселками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 ч быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 ч быстрее второго. Найдите
• 7.18. В первом зрительном зале 350 мест, а во втором — 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом зале?
• 7.19. В красном зале кинотеатра 320 мест, а в синем — 360. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем, но в каждом ряду на 4 места меньше, чем в каждом ряду синего зала. Сколько рядов в каждом зале кинотеатра?
• 7.20. В колледже для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, поэтому каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось. Сколь
• 7.21. Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?
• 7.22. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?
• 7.23. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности
• 7.24. Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 ч. Наполнение чана только через первый кран длится вдвое дольше, чем через второй кран. За какой промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
• 7.25. Аквариум объемом 54 м³ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает 3 ч, а второй — 2 ч. Какова пропускная способность первого крана, если 1 м³ он заполняет на 1 мин медленнее, чем второй?
• 7.26. Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно
• 7.27. Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает 40% задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить все задание каждый рабочий, действуя в
• 7.28. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
• 7.29. Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится 376, а если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 45. Какое число задумано?
• 7.30. Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?
• 7.31. При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 7, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 4. При делении полученного (неверного) произведения на меньший множитель получилось в частном 52 и в остатке 26. Найдите
• 7.32. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исход
• 7.33. На участке одноколейной железной дороги длиной 10 км надо уложить рельсы (две полосы). Для укладки имеются рельсы длиной 25 м и 12,5 м. Если уложить все рельсы длиной 25 м, то надо будет израсходовать половину имеющегося количества рельсов длиной 12
• 7.34. Велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 120 км он затрачивает времени на 3 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
• 7.35. Две модели автомобиля выехали из пунктов А и Б навстречу друг другу, причем первая модель вышла из А на 15 с раньше. Пройдя расстояние АВ, равное 60 м, каждая модель сразу повернула обратно и вернулась к месту старта. Найдите скорость каждой модели,
• 7.36. Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, причем второй стартовал на 6 мин позже первого и догнал первого в 3 км от старта. Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого в 4,6 км от старта. Найдите скорос
• 7.37. Из пункта А в пункт Б, находящийся на расстоянии 70 км от пункта А, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист со скоростью движения 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста в 20 км от пункта А. Прибыв в Б, мотоциклист через 36 мин
• 7.38. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и Б. Каждый идет с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда они встретились во второй раз, оказалось, что первый прошел на 4 км
• 7.39. Два поезда отправляются из пунктов А и Б навстречу друг другу. Если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из Б, то встреча произойдет на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Найдите скорости поездо
• 7.40. По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определите скорости движения точек.
• 7.41. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько на самом деле он плыл по реке, а плыл по реке столько времени,
• 7.42. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер прошел 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Известно, что скорость катера по течению в 1 1/3 раза больше скорости катера против течения. На каком расстоян
• 7.43. Две наборщицы напечатали текст рукописи за 6 ч. Если сначала первая наборщица напечатает половину рукописи, а затем вторая — оставшуюся часть, то на всю работу будет затрачено 12,5 ч. За какое время может выполнить всю работу каждая наборщица?
• 7.44. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то будет
• 7.45. Мастер, работая с учеником, обрабатывает деталь за 2 ч 24 мин. Если мастер будет работать 2 ч, а ученик — 1ч, то будет выполнено 2/3 всей работы. Сколько времени потребуется мастеру и ученику в отдельности на обработку детали?
• 7.46. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая бригада, работающая не более чем в два раз
• 7.47. В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна равномерно подает, а вторая равномерно отводит воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3 бассейне были открыты обе трубы, и
• 7.48. По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся два тела. В начальный момент тело А отстояло от вершины на 60 м, а тело В — на 80 м. Через 3 с расстояние между А и В стало равным 70 м, а еще через 2 с — 50 м. Найдите скорости дви
• 7.49. В январе 2006 г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2006 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2007 г. на свой счет еще 18 000 р., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007 г. и получил 44 000 р.
• 7.50. У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых больше, чем банк, в который обратился старший брат. Сняв свои деньги со сче
• 7.51. Суммарный доход двух предприятий возрастет втрое, если доход первого предприятия останется неизменным, а доход второго увеличится в 4 раза. Во сколько раз надо увеличить доход первого предприятия, оставляя неизменным доход второго, чтобы их суммарны
• 7.52. Торговая фирма получила две партии некоторого товара. Если продавать весь товар по цене 80 р. за 1 кг, то выручка от продаж будет на 15% ниже выручки, которую фирма получила бы, продав первую партию по названной цене, а вторую — по цене, превышающей
• 7.53. При смешивании 40%-го раствора соли с 10%-м раствором получили 800 г раствора с концентрацией соли 21,25%. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?
• 7.54. Имеются два раствора соли в воде, первый — 40%-й, второй — 60%-й. Их смешали, добавили 5 л воды и получили 20%-й раствор. Если бы вместо 5 л воды добавили 5 л 80%-го раствора соли, то получился бы 70%-й раствор. Сколько было 40%-го и сколько 60%-го
• 7.55. Имеется три слитка. Масса первого равна 5 кг, масса второго 3 кг и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди. Если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащ

КР.2 Вариант 1

• 1. Является ли пара чисел (3; 4) решением уравнения х² + (у - 8)² = 25?
• 2. Постройте график уравнения (х - 2)² + (у + 1)² = 9.
• 3. Решите графически: а) систему уравнений x^2 - y = 3, x + y = 3; б) систему неравенств x^2 - y <= 3, x + y <= 3
• 4. Решите методом подстановки систему уравнений x^2 - 3y^2 = 4, x + y = 6
• 5. Решите методом алгебраического сложения систему уравнений x^2 - 2y^2 = -4, x^2 + 2y^2 = 12
• 6. Решите методом замены переменных систему уравнений
• 7. Решите систему уравнений
• 8. Решите графически систему уравнений
• 9. Два каменщика выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый каменщик сделал половину этой работы, а затем другой — остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый каменщик
• 10. Придумайте условие задачи, математической моделью которой является система уравнений

КР.2 Вариант 2

• 1. Является ли пара чисел (-2; 3) решением уравнения (х - 1)² + у² = 18?
• 2. Постройте график уравнения (х + 1)² + (у - 2)² = 16.
• 3. Решите графически: а) систему уравнений x^2 + y = 3, y - x + 3 = 0; б) систему неравенств x^2 + y <= 3, y - x + 3 >= 0
• 4. Решите методом подстановки систему уравнений 2x^2 - ^y2 = 14, 3x + 2y=5
• 5. Решите методом алгебраического сложения систему уравнений 3x^2 + y^2 = 7, x^2 + 2y^2 = 9
• 6. Решите методом замены переменных систему уравнений
• 7. Решите систему уравнений
• 8. Решите графически систему уравнений
• 9. Два слесаря выполняют некоторую работу. После 45 мин совместного труда первый слесарь был переведен на другую работу, и второй закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый слесарь в отдельности, если
• 10. Придумайте условие задачи, математической моделью которой является система уравнений

§8. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции

• 8.1. Найдите область определения функции (В таких заданиях речь идет об отыскании естественной области определения функции):
• 8.2. Найдите область определения функции (В таких заданиях речь идет об отыскании естественной области определения функции):
• 8.3. Найдите область определения функции (В таких заданиях речь идет об отыскании естественной области определения функции):
• 8.4. Найдите область определения функции (В таких заданиях речь идет об отыскании естественной области определения функции):
• 8.5. Найдите область определения функции (В таких заданиях речь идет об отыскании естественной области определения функции):
• 8.6. Найдите область определения функции (В таких заданиях речь идет об отыскании естественной области определения функции):
• 8.7. Найдите область определения функции:
• 8.8. Найдите область определения функции:
• 8.9. Найдите область определения функции:
• 8.10. Найдите область определения функции:
• 8.11. Найдите область определения функции:
• 8.12. Найдите область определения функции:
• 8.13. Найдите область определения функции:
• 8.14. Найдите область определения функции:
• 8.15. Найдите область определения функции:
• 8.16. Найдите область определения функции:
• 8.17. Найдите область определения функции:
• 8.18. Придумайте функцию с указанной областью определения: а) (-∞; +∞); 6) (0; +∞); в) (-∞; 0); г) (-10; +∞).
• 8.19. а) (1; 3); б) [-1; 6]; в) [0; 3]; г) [-5; -2].
• 8.20. Приведите пример функции у = f(x), у которой: а) D(f) = E(f); в) E(f)⊂D(f); б) D(f) ⊂ E(f); г) D(f) ⊄ E(f) и E(f) ⊄ D(f).
• 8.21. Начертите график какой-либо функции у = f(x), для которой: а) D(f) = [-2; 4], E(f) = [-3;3]; б) D(f) = (-5; 3), E(f) = [2; 6); в) D(f) = (0; 7), E(f) = [-1; 6]; г) D(f) = [-4; 0], E(f) = [1; 4).
• 8.22. Дана функция у = f(x), где []. а) Укажите D(f); б) вычислите: f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(7); в) постройте график функции; г) найдите E(f).
• 8.23. Дана функция у = f(x), где [] а) Укажите D(f); б) вычислите: f(-3), f(-1), f(0), f(2), f(5); в) постройте график функции; г) найдите E(f).
• 8.24. Является ли корректным задание: построить график функции у = f(х), где
• 8.25. Найдите область определения функции:
• 8.26. Найдите область определения функции:
• 8.27. Найдите область определения функции:
• 8.28. Найдите область определения функции:
• 8.29. Найдите область определения функции:
• 8.30. Найдите область определения функции:
• 8.31. Найдите область определения функции:
• 8.32. Найдите область определения функции:
• 8.33. Задайте аналитически (формулой) функцию с указанной областью определения (придумайте возможный вариант): а) [1; 5] ∪ [7; 9]; б) [2; 3) ∪ [6; 10]; в) (-2; -1) ∪ (1; 2); г) (-5; -2) ∪ [1; 4].
• 8.34. Дана функция у = f(x), где [] а) Укажите D(f); б) вычислите: f(-2), f(0), f(2), f(4), f(8); в) постройте график функции; г) найдите E(f).
• 8.35. Дана функция у = f(x), где [] а) Укажите D(f); б) вычислите: f(0), f(2), f(3), f(4), f(5); в) постройте график функции; г) найдите E(f)
• 8.36. Дана функция у = f(x), где [] а) Укажите D(f); б) вычислите: f(-5), f(-2), f(0), f(2), f(4); в) постройте график функции; г) найдите E(f).
• 8.37. Постройте график функции
• 8.38. Постройте график функции у = (-1)^x x, х ∈ N.

§9. Способы задания функций

• 9.1. Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура, изображенная: а) На рис. 13; б) на рис. 14; в) на рис. 15; г) на рис. 16?
• 9.2. Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура, изображенная: а) На рис. 17; б) на рис. 18; в) на рис. 19; г) на рис. 20?
• 9.3. Является ли графиком какой-либо функции линия, изображенная на заданном рисунке? Если да, то задайте эту функцию аналитически (придумайте возможный вариант), учитывая, что на рисунках 19—32 изображены прямые, параболы (или ветви парабол) и гиперболы.
• 9.4. Является ли графиком какой-либо функции линия, изображенная на заданном рисунке? Если да, то задайте эту функцию аналитически (придумайте возможный вариант), учитывая, что на рисунках 19—32 изображены прямые, параболы (или ветви парабол) и гиперболы.
• 9.5. Является ли графиком какой-либо функции линия, изображенная на заданном рисунке? Если да, то задайте эту функцию аналитически (придумайте возможный вариант), учитывая, что на рисунках 19—32 изображены прямые, параболы (или ветви парабол) и гиперболы.
• 9.6. Задайте аналитически (придумайте возможный вариант) функцию, график которой изображен: а) на рис. 33; б) на рис. 34; в) на рис. 35; г) на рис. 36.
• 9.7. Функция задана формулой s = 90t, где s — путь (в км) и t — время (в ч). а) Найдите s(l), s(2,5), s(4); б) найдите t, если s = 1800 км; в) найдите s, если t = 15 мин; г) найдите t (в мин), если s = 450 м.
• 9.8. Функция задана формулой t = s/12, где s — путь (в км) и t — время (в ч). а) Найдите t(36), t(2,7), t(144); б) найдите s, если t = 4,5 ч; в) найдите t, если s = 150 м; г) найдите s (в м), если t = 45 с.
• 9.9. Решите графически уравнение:
• 9.10. Решите графически уравнение:
• 9.11. Функция задана формулой s = 2t² + 4t, где s — путь (в км) и t — время (в ч). а) Найдите s(l), s(2,5), s(4); б) найдите t, если s = 240 км; в) найдите s, если t = 45 мин; г) найдите t (в мин), если s = 645 м.
• 9.12. Функция задана формулой V = 1/3Sh, где V — объем пирамиды (в м³), S — площадь ее основания (в м²), h — высота пирамиды (в м). а) Выразите каждую переменную через две другие; б) найдите значение V, если s = 2 м², h =
• 9.13. Задайте формулой у = ах² + bх + с функцию, график которой изображен: а) на рис. 37; в) на рис. 39; б) на рис. 38; г) на рис. 40.
• 9.14. Функция у = f(x) задана на множестве всех натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие целая часть квадратного корня из числа х. Найдите: а) f(1); б) f(8); в) f(15); г) f(22).
• 9.15. Функция у = f(x) задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа х. Найдите: а) f(73); б) f(-6); в) f(-3); г) f(12).
• 9.16. Функция у = f(x) задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа х. Найдите область значений этой функции.
• 9.17. Задайте аналитически (придумайте возможный вариант) функцию, график которой изображен: а) на рис. 41; б) на рис. 42.
• 9.18. Постройте график функции: а) у = [x], x: ∈ [0; 6]; б) у = [х], x ∈ (-6; 0).
• 9.19. Постройте график функции:

§10. Свойства функций

• 10.1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает: а) у = 5х; б) у = 2х +3; в) у = 2х - 3; г) у = x/2 +4.
• 10.2. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает: а) у = x³; б) у = 2x³; в) у = х³ + 1; г) у = x³/2.
• 10.3. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:
• 10.4. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает: а) у = -5х; б) у = 5 - 2x; в) у = -7x + 1; г) y = 4- x/3.
• 10.5. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает: а) у =-х³;б) у = -3x³; в) у = -x³/5 г) y = -x³ + 7.
• 10.6. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:
• 10.7. Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной: а) у = 7х + 2; в) у = 4х + 1, х > 0; б)у = -3х + 1, х < 0; г) у = -2х + 5, 0 ≤ х ≤ 5.
• 10.8. Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной: а) у = х²; б) у = 1/x, х > 0; в) у=√х; г) у = | х |, -4 < х < 8.
• 10.9. Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной: а) у = -х² + 4х - 5, х ≥ 0; б) у = х² - 4х + 1, х ≤ 0; в) у = 2х² - 6x + 3, х ≥ 0; г) у = -3х
• 10.10. Докажите ограниченность функции:
• 10.11. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
• 10.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: у = √x, если:
• 10.13. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
• 10.14. Постройте и прочитайте график функции:
• 10.15. Постройте и прочитайте график функции:
• 10.16. Дана функция у = f(x), где [] а) Найдите: f(-3); f(0); f(5); б) постройте график функции у = f(х); в) перечислите свойства функции.
• 10.17. Дана функция у = f(х), где [] а) Найдите: Д-2); ДО); Д5); б) постройте график функции у = f(х); в) перечислите свойства функции.
• 10.18. Докажите, что функция возрастает:
• 10.19. Докажите, что функция возрастает:
• 10.20. Докажите, что функция убывает:
• 10.21. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = х² + 4х - 3; б) у = -4х² - 12х + 1; в) у = 9х² + 6х - 5; г) у = -х² + 8х - 12.
• 10.22. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = | х | + 3, х ∈ [-5; 1]; б) у = -| 4х | + 1, x ∈ (-6; 2]; в) y = -|2х| - 1, x ∈ [-1; 1]; г) у=|х|+ 3, x ∈ [-5; 1).
• 10.23. Представьте данную функцию в виде у = f(x + l) + т, опишите ее свойства и постройте график:
• 10.24. Представьте данную функцию в виде у = f(x + l) + т, опишите ее свойства и постройте график:
• 10.25. Исследуйте функцию на ограниченность:
• 10.26. Постройте и прочитайте график функции:
• 10.27. Постройте и прочитайте график функции:
• 10.28. Найдя промежутки монотонности функции у = f(x), сравните f(a) и f(b), если:

§11. Четные и нечетные функции

• 11.1. Является ли симметричным заданное множество: а) [-3; 3]; б) (-∞; +∞); в) [-4; 1]; г) [0; +∞)?
• 11.2. Является ли симметричным заданное множество: а) [-6; 2); б) (-∞; 4); в) (-12; 12]; г) (-∞; 0)?
• 11.3. Докажите, что функция является четной: а) у = 3х² + х⁴; б) у = 4х⁶ - х²; в) у = 2х⁸ - x⁶; г) у = 5x² + x¹⁰.
• 11.4. Докажите, что функция является нечетной:
• 11.5. Докажите, что функция у = х² + х не является ни четной, ни нечетной.
• 11.6. Исследуйте на четность функцию: а) у = х²; б) у = х⁷; в) у = х⁶; г) у = х³.
• 11.7. Исследуйте на четность функцию:
• 11.8. Исследуйте на четность функцию:
• 11.9. Исследуйте на четность функцию, график которой изображен: а) На рис. 43; б) на рис. 44; в) на рис. 45; г) на рис. 46.
• 11.10. Исследуйте на четность функцию, график которой изображен: а) На рис. 47; б) на рис. 48; в) на рис. 49; г) на рис. 50.
• 11.11. На рисунке построена ветвь графика функции у = f(x). Постройте весь график этой функции, если известно, что: а) у = f(x) — четная функция (рис. 51); б) у = f(x) — нечетная функция (рис. 52); в) у = f(x) — нечетная функция (рис. 53); г) у = f(x) — ч
• 11.12. а) Известно, что функция у = f(x) — четная и возрастает при х > 0. Определите характер монотонности функции при х < 0. б) Известно, что функция у = f(x) — четная и убывает при х > 0. Определите характер монотонности функции при х < 0. в
• 11.13. Известно, что функция у = f(x) — четная и ограничена сверху при х > 0. Можно ли утверждать, что она при х < 0: а) ограничена сверху; б) ограничена снизу?
• 11.14. Известно, что функция у = f(x) — нечетная и ограничена снизу при х > 0. Можно ли утверждать, что она при х < 0: а) ограничена сверху; б) ограничена снизу?
• 11.15. Известно, что функция у = f(x) — нечетная и ограничена сверху при х > 0. Можно ли утверждать, что она при х < 0: а) ограничена сверху; б) ограничена снизу?
• 11.16. Известно, что функция у = f(x) — четная и ограничена снизу при х > 0. Можно ли утверждать, что она при х < 0: а) ограничена сверху; б) ограничена снизу?
• 11.17. Постройте график функции у = f(x) и исследуйте ее на четность:
• 11.18. Постройте график функции у = f(x) и исследуйте ее на четность:
• 11.19. Постройте график функции у = f(x) и исследуйте ее на четность:
• 11.20. Исследуйте на четность функцию:
• 11.21. Исследуйте на четность функцию:
• 11.22. Представьте функцию у = f(x), где f(x) = 4х⁴ - х³ + 2х² -- х + 5 в виде суммы четной и нечетной функций.
• 11.23. Постройте и прочитайте график функции:
• 11.24. Постройте и прочитайте график функции:
• 11.25. Постройте и прочитайте график функции:
• 11.26. Функции у = f(x) и у = g(x) определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция у = h(x) четной или нечетной, если: а) h(x) = f(x)g²(x), у = f(x) — четная функция, у = g(x) — нечетная функция; б) h(х) = f(x) - g(x), у
• 11.27. Дана функция у = f(x), где [] Задайте h(х) так, чтобы функция у = f(x) являлась четной.
• 11.28. Дана функция у = f(x), где [] Задайте h(х) так, чтобы функция у = f(x) являлась нечетной.
• 11.29. Дана функция у = f(x), где [] Задайте h(x) так, чтобы функция у = f(x): а) являлась четной; б) являлась нечетной.
• 11.30. Дана функция у = f(x), где [] Задайте, если это возможно, h(x) так, чтобы функция У = f(x): а) являлась четной; б) являлась нечетной.
• 11.31. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график:
• 11.32. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график:
• 11.33. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график:
• 11.34. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график:

§12. Функции y = xn (n ∈ N), их свойства и графики

• 12.1. Постройте график функции: а) у = х³; б) у = -х³; в) у = (х - 1)³; г) у = -х³ + 1.
• 12.2. Постройте график функции у = f(x), где f(x) = (х + 2)³ - 1. С помощью графика найдите: а) f(-1), f(-3), f(0); б) корень уравнения f(x) = -9; в) решение неравенства f(x) < 0; г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3; 0
• 12.3. Постройте график функции у = f(x), где f(x) = -(x - 1)³ + 2. С помощью графика найдите: а) f(0), f(-1), f(3); б) корень уравнения f(x) = -6; в) решение неравенства f(x) < 1; г) значения аргумента, при которых функция выпукла вверх, вып
• 12.4. Принадлежит ли графику функции у = f(x) точка А, если: а) f(x) = х³ - 4, А(6; 212); б) f(x) = -(х + 6)³, А(-8; -8); в) f(x) = (х - 2)³ + 200, А(-8; 800); г) f(x) = -(х + 7)³ + 25, А(-2; -100)?
• 12.5. Не выполняя построения графика, найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = х³ - 3, х [-1; 2]; б) у = ~(х + 4)³, х [-4; 10]; в) у = (х - 2)³ + 5, х [-1; 2]; г) у = -(х - 3)³ -1, х [-4; 8].
• 12.6. Исследуйте функцию на монотонность: а) у = (х + 2)³; в) у = х³ - 10; б) у = -(х - 4)³ +1; г) у = -(х + 1)³ - 3.
• 12.7. Постройте и прочитайте график функции: а) у = х⁶; б) у = -х¹⁰; в) у = х⁸; г) у = х¹².
• 12.8. Постройте и прочитайте график функции: а) у = -х³; б) у = х⁷; в) у = х⁵; г) у = -х⁹.
• 12.9 Постройте график функции
• 12.10. Постройте график функции
• 12.11 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x⁶: а) на отрезке [-1; 1]; б) на луче [1/2; +∞); в) на полуинтервале (-2; 2]; г) на луче (-∞; 3].
• 12.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х⁵: а) на отрезке [-1; 1]; б) на луче (-∞; 0]; в) на полуинтервале (1; 3]; г) на луче [-1; +∞).
• 12.13. Найдите точки пересечения графиков функций:
• 12.14. Решите графически уравнение: а) x⁶ = -1/x; б) x⁵ = 1/x; в) х⁴ = 1; г) х⁷ = х.
• 12.15. Решите графически уравнение: а) х³ = 4х; б) (х + 1)³ = 1 - 2х; в) х³ = 1/x; г) -х³ + 2 = х + 4.
• 12.16. Решите графически неравенство: а) х³ < 1; б) х³ > х; в) х³ > -8; г) х³ ≤ х.
• 12.17. Определите число решений системы уравнений:
• 12.18. Определите число решений системы уравнений:
• 12.19. Постройте и прочитайте график функции:
• 12.20. Чему равно п, если известно, что график степенной функции у = х^п проходит через заданную точку: а) (2; 256); б) (-2; -128); в) (3; 243); г) (-4; 256)?
• 12.21. Исследуйте степенную функцию у = х^п на четность и ограниченность, если известно, что ее график проходит через заданную точку: а) (-1; 1); б) (-1; -1); в) (1; 1); г) (1; -1).
• 12.22. Пусть Р — наибольшее значение функции у = (х + 2)⁵ на отрезке [-3; -1], a Q — наименьшее значение функции у =√x на луче [0; +∞). Что больше: Р или Q? Сделайте графическую иллюстрацию.
• 12.23. Пусть К — наибольшее значение функции у = х³⁶¹ на луче (-∞; 0], a L — наименьшее значение функции у = х¹⁰⁰² на отрезке [-5; 5]. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, что больше: К или L.
• 12.24. Определите число решений системы уравнений:
• 12.25. Решите графически неравенство:
• 12.26. Постройте и прочитайте график функции:
• 12.27. Постройте и прочитайте график функции:
• 12.28. Постройте и прочитайте график функции:
• 12.29. Постройте и прочитайте график функции:
• 12.30. Постройте и прочитайте график функции:
• 12.31. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график:
• 12.32. а) у = (|x| - 2)³; б) у = -(|x| + 1)³.
• 12.33. Докажите, что уравнение не имеет корней:
• 12.34. Дана функция у = f(x), где f(x) = х⁷ Докажите, что
• 12.35. Дана функция у = f(x), где f{x) = -х⁴. Докажите, что
• 12.36. Дана функция у = f(x), где f(x) = x¹⁰. Докажите, что
• 12.37. Дана функция у = f(x), где f(x) = -х³. Докажите, что

§13. Функции у = х-n (n ∈ N), их свойства и графики

• 13.1. Какая из точек А, В принадлежит графику функции у = f(x), если:
• 13.2. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.3. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.4. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.5. Постройте график функции у = (х - 2) ^-2. Найдите промежутки убывания и возрастания функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.
• 13.6. Постройте график функции у = х^-2 - 1. Найдите область значений функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.
• 13.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x^-4: а) на отрезке [1/2; 1] ; б) на луче (-∞; -2]; в) на полуинтервале (-3; -1]; г) на луче [3; +∞).
• 13.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x^-5: а) на отрезке [-2; -1]; б) на луче (-∞; -1/2]; в) на полуинтервале (1/2; 4] ; г) на луче [2; +∞).
• 13.9. Найдите точки пересечения графиков функций:
• 13.10. Решите графически уравнение:
• 13.11. Определите число решений системы уравнений:
• 13.12. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.13. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.14. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.15. Чему равно п, если известно, что график степенной функции у = х^-n проходит через заданную точку:
• 13.16. Исследуйте степенную функцию у = х^-n на четность и ограниченность, если известно, что ее график проходит через заданную точку: а) (-1; 1); б) (-1; -1); в) (1; 1); г) (1; -1).
• 13.17. Пусть Р — наибольшее значение функции на отрезке [-1; 1], a Q — наименьшее значение функции у = x⁸ на отрезке [-1; 1]. Что больше: Р или Q? Сделайте графическую иллюстрацию.
• 13.18. Определите число решений системы уравнений:
• 13.19. Не выполняя построения графика функции у = (x + 2)^-3 - 1, укажите: а) область определения и область значений функции; б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции; в) уравнения асимптот; г) координаты центра симметрии
• 13.20. Не выполняя построения графика функции у = (х - 1)^-2 - 2, укажите: а) область определения и область значений функции; б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции; в) уравнения асимптот; г) уравнение оси симметрии гра
• 13.21. Постройте и прочитайте график функции:
• 13.22. Решите графически неравенство:
• 13.23. Даны функции у = f(x) и у = g(x), где f(x) = х⁵, g(x) = х ^-10. Докажите, что
• 13.24. Даны функции у = f(x) и у = g(x), где f(x) = x^-3 g(x) = х⁴. Докажите, что (f(x²))² = (g(x))^-3.
• 13.25. Даны функции у = f(x) и у = g(x), где f(x) = x² g(x) = х^-4. Докажите, что

§14. Функция у = 3√x, ее свойства и график

• 14.1. Вычислите:
• 14.2. Вынесите множитель за знак радикала:
• 14.3. Вынесите множитель за знак радикала:
• 14.4. Вынесите множитель за знак радикала:
• 14.5. Вынесите множитель за знак радикала:
• 14.6. Внесите множитель под знак радикала:
• 14.7. Внесите множитель под знак радикала:
• 14.8. Упростите выражение:
• 14.9. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
• 14.10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
• 14.11. Выполните указанные действия:
• 14.12. Выполните указанные действия:
• 14.13. Решите уравнение:
• 14.14. Принадлежит ли графику функции у = ³√х точка:
• 14.15. Постройте график функции и найдите промежутки знакопостоянства:
• 14.16. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = ³√х на заданном промежутке: а) [1; 8]; б) (-8; 0]; в) [-27; 64]; г) [0,125; +∞).
• 14.17. Решите графически уравнение: а) ³√х = 10 - x; б) ³√х = |x|.
• 14.18. Исследуйте функцию на четность:
• 14.19. Постройте и прочитайте график функции:
• 14.20. Определите число решений системы уравнений:
• 14.21. Постройте и прочитайте график функции:
• 14.22. Решите уравнение f(x) = р, если:
• 14.23. Решите уравнение:
• 14.24. Решите неравенство:
• 14.25. Постройте и прочитайте график функции
• 14.26. Постройте график функции у = f(x), где [] При каком значении параметра р уравнение f(x) = р имеет: а) два корня; б) три корня; в) четыре корня; г) не имеет корней?
• 14.27. Постройте график уравнения:
• 14.28. Решите графически систему неравенств:

КР.3 Вариант 1

• 1. Найдите область определения функции
• 2. Придумайте аналитически заданную функцию у = f(x), для которой D(f) = (5; 7).
• 3. Функция у = f(x) задана на множестве X всех двузначных натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х из X ставится в соответствие целая часть квадратного корня из числа х. Найдите область значений данной функции.
• 4. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность функцию у = 3x³ + 4х + 5, х • [0; +∞).
• 5. Дана функция у = f(x), где [] Задайте h(х), если известно, что у = f(х) является четной функцией.
• 6. Определите число корней уравнения x^-2 = 4х + 3
• 7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = (х + 2)⁴ - 2 на отрезке [-1, 4].
• 8. Решите графически: а) уравнение б) неравенство
• 9. Даны функции у = f(x) и у = g(x), где f(x) = x^-2, g(x) = х⁴. Докажите, что
• 10. Дана функция у = f(x), где [] а) Постройте график функции у = f(x); б) укажите число корней уравнения f(x) = р, где р — любое действительное число.

КР.3 Вариант 2

• 1. Найдите область определения функции
• 2. Придумайте аналитически заданную функцию у = f(x), для которой D(f) = [1; 3].
• 3. Функция у = f(x) задана на множестве всех натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу x: ставится в соответствие число единиц в записи куба числа х. Найдите область значений данной функции.
• 4. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность функцию у = -х⁴ - х² + 8, х ∈ [0; +∞).
• 5. Дана функция у = f(x), где [] Задайте h(x), если известно, что у = f(x) является нечетной функцией.
• 6. Определите число корней уравнения х^-8 = 2 - 3х.
• 7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = (1 - x)³ + 3 на отрезке [2; 3].
• 8. Решите графически:
• 9. Даны функции у = f(x) и у = g(x), где f(x) = х⁴, g(x) = x^-1. Докажите, что при х < 0 выполняется равенство
• 10. Дана функция у = f(x), где [] а) Постройте график функции у = f(x); б) укажите число корней уравнения f(x) = р, где р — любое действительное число.

§15. Числовые последовательности

• 15.1. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью: а) у = 2х - 1, х ∈ (0; +∞); б) у = 2х - 1, х ∈ Q; в) у = 2х - 1, х ∈ Z; г) у = 2х - 1, х ∈ N.
• 15.2. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью:
• 15.3. Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в мин. Сколько капель упадет на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последова
• 15.4. Выясните, является ли указанное ниже соответствие последовательностью. Если да, то составьте формулу п-го члена последовательности и найдите ее первые пять членов: а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат; б) каждому натурал
• 15.5. Приведите примеры последовательностей, заданных: а) с помощью формулы n-го члена; б) словесно; в) рекуррентным способом.
• 15.6. Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных пяти. Укажите ее шестой, девятый, двадцать первый, п-й члены.
• 15.7. Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите ее восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-й члены.
• 15.8. Известно, что (а_n) — возрастающая последовательность кубов всех натуральных чисел. Найдите а₁, а₂, а₃, а₄, а_п.
• 15.9. Известно, что (с_n) — возрастающая последовательность всех натуральных степеней числа 2. Найдите с₁, с₂, с₃, с₄, с_n.
• 15.10. Назовите член последовательности (у_п), который: а) следует за членом у₃₁, у_n, у_n+9, у_2n; б) предшествует члену у₉₁, у₆₃₉, y_n-1, у_3n.
• 15.11. Назовите все члены последовательности (а_n), которые расположены между членами: a) a₆₃₈ и a₆₄₅; в) a_n+3 и a_n+10; б) a₁₀₀₂ и a₁₀₀₈; г) a_n-2 и a_n+2;
• 15.12. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности: а) а_n = 4n + 1; б) с_n = -7n + 3; в) b_n = 5_n + 2; г) а = -3n - 7.
• 15.13. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности:
• 15.14. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности:
• 15.15. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам: а) 1, 2, 3, 4, 5, ... ; б) -2, -1, 0, 1, 2, ... ; в) 6, 7, 8, 9, 10, ... ; г) -1, -2, -3, -4, -5, ... .
• 15.16. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам: а) 1, 3, 5, 7, 9, ... ; б) 3, 6, 9, 12, 15, ... ; в) 4, 6, 8, 10, 12, ... ; г) 4, 8, 12, 16, 20, ... .
• 15.17. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам: а) 1, 4, 9, 16, 25, ... ; б) 4, 9, 16, 25, 36, ... ; в) 2, 5, 10, 17, 26, ... ; г) 1, 8, 27, 64, 125.....
• 15.18. Докажите, что число А является членом последовательности (y_n), если:
• 15.19. Является ли членом последовательности (y_n) данное число В? Если является, то укажите номер соответствующего члена последовательности:
• 15.20. Выпишите первые шесть членов последовательности (х_n), заданной рекуррентно:
• 15.21. Выпишите первые шесть членов последовательности (х_n), заданной рекуррентно:
• 15.22. Докажите, что последовательность (y_n) является возрастающей:
• 15.23. Докажите, что последовательность (y_n) является убывающей:
• 15.24. Выпишите первые семь членов возрастающей последовательности квадратов всех простых чисел.
• 15.25. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите ее первые пять членов:
• 15.26. Последовательность задана формулой n-го члена. Вычислите ее первые три члена с четными номерами:
• 15.27. Последовательность задана формулой n-го члена. Вычислите первые три члена с нечетными номерами:
• 15.28. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
• 15.29. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
• 15.30. Выпишите первые шесть членов последовательности (x_n), у которой х₁ = -3, х₂= -2 и каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.
• 15.31. Задайте последовательность рекуррентным способом: а) 2, 2, 2, 2, 2, ... ; б) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; в) 9, 7, 5, 3, 1, ... ; г) 5, -5, 5, -5, 5, -5, ... .
• 15.32. Задайте последовательность рекуррентным способом: а) 2, 6, 18, 54, 162, ... ; б) 1, 8, 15, 22, 29, ... ; в) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ...; г) 3, -9, 27, -81, 243, ... .
• 15.33. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа √3: а) по недостатку; б) по избытку.
• 15.34. Найдите сумму первых семи членов последовательности, заданной словесно: n-й член последовательности равен десятичной дроби, целая часть которой равна нулю, а после запятой стоят подряд ровно n единиц.
• 15.35. Укажите номер члена последовательности равного: а) 5/14; б) 14/41; в) 6/13; г) 8/23.
• 15.36. Последовательность задана формулой а_n = (2n - 1)(3n + 2). Является ли членом последовательности число: а) 0; б) 24; в) 153; г) -2?
• 15.37. Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т.е. найдите формулу ее n-го члена:
• 15.38. Постройте график последовательности:
• 15.39. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности (x_n) будут больше заданного числа А:
• 15.40. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности (x_n) будут меньше заданного числа А:
• 15.41. Докажите, что последовательность возрастает:
• 15.42. Докажите, что последовательность убывает:

§16. Арифметическая прогрессия

• 16.1. Определите, является ли приведенная ниже последовательность арифметической прогрессией: а) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ; б) 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ; в) 13, 10, 7, 4, 1, -2, ... ; г) 3, 1, 3, 1, 3, 1, ... .
• 16.2. Определите, является ли приведенная ниже последовательность арифметической прогрессией: а) -7, -5, -3, -1, 1, ... ; б) 3, 0, -3, -6, -8, ...; в) 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...; г) 2, 7,12,17, 27, ... .
• 16.3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии: а) 3, -1, -5, -9, ... ; б) 7, 4, 1, -2, ... ; в) 0,7, 0,9, 1,1, 1,3,...; г) -1, -0,9, -0,8, -0,7,....
• 16.4. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a_n), если: а) а₁ = 3, d = 7; б) a₁ =10, d = -2,5; в) а₁ = -21, d = 3; г) а₁ = -17,5, d = -0,5.
• 16.5. Запишите конечную арифметическую прогрессию (a_n), заданную следующими условиями: а) а₁ = -2, d = 4, n = 5; б) а₁= 1, d = -0,1, n = 7; в) а₁ = 2, d = 3, n = 6; г) а₁ = -6, d = 1,5, n = 4.
• 16.6. Запишите конечную арифметическую прогрессию (a_n), заданную следующими условиями:
• 16.7. Найдите разность и десятый член арифметической прогрессии:
• 16.8. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
• 16.9. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 11. Докажите, что она является арифметической прогрессией; укажите первый член и разность прогрессии.
• 16.10. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных степеней числа 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
• 16.11. Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность (x_n), заданная формулой n-го члена, Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
• 16.12. Докажите, что последовательность (a_n) является арифметической прогрессией, и найдите разность прогрессии:
• 16.13. Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии (a_n), найдите a₁ и d:
• 16.14. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии: а) 2, 5, 8, 11, ... ; б) 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, ... ; в) 7, 5, 3, 1, ... ; г) -1, -1 1/7, -1 2/7, -1 3/7, ... .
• 16.15. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии:
• 16.16. Дана арифметическая прогрессия (аД. Вычислите: а) а₆, если a₁ = 4, d = 3; б) а₁₅, если а₁ = -15, d = -5; в) а₁₇, если а₁ = -12, d = 2; г) а₉, если а₁ = 101, d =
• 16.17. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если: а) а₁ = 12, а₅ = 40; б) а₆ =-30, а₁₆=30; в) а₁ = -8, а₁₁ = -28; г) а₁₁=4,6, а₃₆= 54,6.
• 16.18. Найдите первый член арифметической прогрессии (a_n), если:
• 16.19. а) Число 29 является членом арифметической прогрессии 9, 11, 13, ... . Найдите номер этого члена. б) Число 43 является членом арифметической прогрессии 3, 7, 11, ... . Найдите номер этого члена.
• 16.20. Проверьте: а) является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии -1,5, -1, -0,5, ... ; б) является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5, 11, 14,5.....
• 16.21. Проверьте: а) является ли число 41 членом арифметической прогрессии (a_n), у которой а₁ = -7, d = 4; б) является ли число -33 членом арифметической прогрессии (а_n), у которой а₁= 3, d = -6.
• 16.22. а) Между числами 15 и 23 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии. б) Между числами 16 и 28 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последова
• 16.23. Дана конечная арифметическая прогрессия (а_n). Найдите а_n, если:
• 16.24. Дана конечная арифметическая прогрессия (а_n). Найдите a₁, если:
• 16.25. Дана конечная арифметическая прогрессия (a_n). Найдите d, если:
• 16.26. Дана конечная арифметическая прогрессия (a_n). Найдите п, если:
• 16.27. Является ли число b членом заданной арифметической прогрессии (а_n)? Если да, то укажите номер этого члена.
• 16.28. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (a_n) будут меньше заданного числа А: а) 2, 1,9, 1,8, 1,7, ... ,А = 0; б) 15,9, 15,5, 15,1, ... , А = 0,9; в) 110, 100, 90, ... ,А = 15; г) -1, -1,7
• 16.29. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (a_n) будут больше заданного числа А: а) а₁ = -12, d = 3, А = 141; б) a₁ = 4, d = 2,2, А = 14,7; в) a₁ = -4,5, d =
• 16.30. Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвертого ее членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.
• 16.31. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равно 21. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий ее член — положительное число.
• 16.32. Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трех равна -21, а сумма трех последних чисел равна -6. Найдите эти числа.
• 16.33. Найдите сумму S_n членов конечной арифметической прогрессии (а_n), если известны первый и последний ее члены:
• 16.34. Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (а_n), если известно, что:
• 16.35. Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии (а_n), если известно, что:
• 16.36. Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (а_п), если известно, что:
• 16.37. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (a_n), заданной формулой n-го члена:
• 16.38. Для арифметической прогрессии (a_n) заполните таблицу:
• 16.39. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (a_n), если а₄ = 10, а₁₀ = 19.
• 16.40. В № 16.40—16.42 дана арифметическая прогрессия (a_n). а) Зная, что а₁₁ + а₁₃ = 122, найдите а₁₂; б) зная, что а₁₉ = 5, найдите а₁₈ + а₂₀; в) зная, что а₁₅ + а
• 16.41. В № 16.40—16.42 дана арифметическая прогрессия (a_n). а) Зная, что а₁ + а₂₀ = 64, найдите а₂ + а₁₉; б) зная, что а₃ + а₁₇ = -40, найдите а₁ + а₁₉; в)
• 16.42. В № 16.40—16.42 дана арифметическая прогрессия (a_n). а) Найдите a₁₀ + а₂₀, если известно, что а₉ + а₁₁ = 44 и a₁₉ + a₂₁ = 104. б) Найдите а₁₅ + а₃₀,
• 16.43. Найдите те значения х, при которых числа х, 2х - 1, 5х являются последовательными членами арифметической прогрессии.
• 16.44. Найдите те значения y, при которых числа 2y + 5, y, 3y - 8 являются последовательными членами арифметической прогрессии.
• 16.45. а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7. б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.
• 16.46. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 8. б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 12 дают в остатке 5.
• 16.47. Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии (а_n), найдите а₁ и d:
• 16.48. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (a_n), если:
• 16.49. Найдите восьмой член и разность арифметической прогрессии (a_n), если:
• 16.50. а) Между числами -8 и -35 вставили два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии, б) Между числами -6 и -15 вставили два числа так, чтобы получились четыре последовательных
• 16.51. Дана конечная арифметическая прогрессия (a_n). Найдите а_n, если:
• 16.52. Дана конечная арифметическая прогрессия (a_n). Найдите a₁, если:
• 16.53. Дана конечная арифметическая прогрессия (аД. Найдите d, если:
• 16.54. Дана конечная арифметическая прогрессия (а_n). Найдите n, если:
• 16.55. Является ли число b членом заданной арифметической прогрессии (a_n)? Если да, то укажите номер этого члена.
• 16.56. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (a_n) будут меньше заданного числа А:
• 16.57. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (a_n) будут больше заданного числа А:
• 16.58. Арифметическая прогрессия задана формулой а_n = 6n - 306. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены прогрессии: а) больше -12; б) являются положительными; в) принадлежат лучу [300; +∞); г) принадлежат открытому лучу (-6
• 16.59. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13. б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.
• 16.60. При делении девятого члена арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2, а в остатке 5. Найдите первый член и разность прогрессии.
• 16.61. Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если известно, что его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.
• 16.62. Числа -100 и -78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и сумму ее первых двадцати членов.
• 16.63. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7
• 16.64. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшае
• 16.65. Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?
• 16.66. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?
• 16.67. Три числа в заданном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите среднее число, если известно, что утроенная сумма кратных чисел равна 234.
• 16.68. Найдите те значения х, при которых данные числа в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию:
• 16.69. Докажите, что если числа 1/a, 1/b, 1/c в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство:
• 16.70. Докажите, что если числа 1/(a+b), 1/(a+c), 1/(c+b) в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа a², b², c² также образуют конечную арифметическую прогрессию.

§17. Геометрическая прогрессия

• 17.1. Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии (b_n), если:
• 17.2. Дана возрастающая последовательность всех степеней числа 3 с натуральными показателями. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен ее знаменатель?
• 17.3. Дана убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен ее знаменатель?
• 17.4. Какие из приведенных ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?
• 17.5. Какие из приведенных ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?
• 17.6. Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими?
• 17.7. Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими?
• 17.8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии:
• 17.9. Выразите указанные члены геометрической прогрессии (b_n) через b₁ и q: а) b₅; б) b₄₁; в) b_к; г) b_2n.
• 17.10. Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Найдите:
• 17.11. Найдите указанный член геометрической прогрессии (b_n) по заданным условиям:
• 17.12. Найдите b₁ и q для геометрической прогрессии (b_n), заданной следующими условиями:
• 17.13. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии:
• 17.14. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии:
• 17.15. Зная формулу n-го члена геометрической прогрессии (b_n), определите b₁ и q:
• 17.16. а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии, б) Между числами 16 и 64 вставьте отрицательное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической п
• 17.17. Является ли число В членом геометрической прогрессии (b_n)? Если да, то укажите его номер:
• 17.18. Дана конечная геометрическая прогрессия (b_n). Найдите b_n, если известно, что:
• 17.19 Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если:
• 17.20 Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если:
• 17.21. Дана конечная геометрическая прогрессия (b_n). Найдите п, если:
• 17.22. Найдите первый член и знаменатель q геометрической прогрессии (b_n), если:
• 17.23. Между числами 1 и 1/8 вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.
• 17.24. В правильный треугольник со стороной 32 см последовательно вписываются треугольники; вершины каждого последующего треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогре
• 17.25. Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии (b_n), заданной следующими условиями:
• 17.26. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), у которой:
• 17.27. Для геометрической прогрессии (b_n) найдите S_n, если:
• 17.28. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:
• 17.29. Найдите S₅ для геометрической прогрессии (b_n), если:
• 17.30 Для геометрической прогрессии (b_n) заполните таблицу:
• 17.31 а) b₂ = 4, b₄ = 16. Найдите q и b₃ (b₃ > 0). б) b₅ = 12, b₇ = 3. Найдите q и b₆ (b₆ < 0). в) b₂₅ = 7, b₂₇ = 21. Найдите q и b_26<
• 17.32. Найдите те значения переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.
• 17.33. Найдите те значения переменной у, при которых числа -81, 3у, -1 являются последовательными членами геометрической прогрессии.
• 17.34. Найдите те значения переменной х, при которых числа х -1, √(3x), 6x являются последовательными членами геометрической прогрессии.
• 17.35. Клиент взял в банке кредит в размере 50000 р. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если условия погашения кредита таковы: а) проценты возвращаются в банк ежегодно; б) весь кредит с процентами возвращается в
• 17.36. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, заданной формулой n-го члена:
• 17.37. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены геометрической прогрессии (b_n) будут больше числа А:
• 17.38. Укажите номера всех тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа А: а) 1, 3, 9, 27.....А = 729; б) 3, 1.5, 0.75, ... , А = 3/32; в) 243, 81, 27.....А= 1/81; г) 16, 8√2, 8, ... , А = 1.
• 17.39. В конечной геометрической прогрессии указаны первый член b₁ знаменатель q и сумма S_n всех ее членов. Найдите число членов прогрессии:
• 17.40. а) Дана возрастающая геометрическая прогрессия (b_n). Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если b₁ = √3, b₉ = 81√3. б) Дана убывающая геометрическая прогрессия (b_n). Найдите
• 17.41. а) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (b_n). Найдите знаменатель прогрессии и сумму ее первых пяти членов, если b₁ = 5, b₃ = 80. б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (b_n). Найд
• 17.42. Первый член возрастающей геометрической прогрессии (b_n) равен 4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. Найдите q и b₁₀, если известно, что прогрессия возрастающая.
• 17.43. Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
• 17.44. Разность между вторым и третьим членами геометрической прогрессии равна 18, а их сумма 54. Определите первый член и знаменатель прогрессии.
• 17.45. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14, а трех последних 112.
• 17.46. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объем параллелепипеда равен 216 м³, а сумма длин всех его ребер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда.
• 17.47. Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии (b_n):
• 17.48. Найдите сумму:
• 17.49. Найдите сумму:а) 1 + x + x² + ... + x¹⁰⁰; б) x + x³ + x⁵ + ... + x³⁵; в) x² - x⁴ + x⁶ - ... - x²⁰; г) 1/x + 1/x² + ... + 1/x⁴⁰,
• 17.50. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей четное число членов, отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знаменателю прогрессии.
• 17.51. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
• 17.52. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвертый — 8
• 17.53. Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9.
• 17.54. Сумма трех чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24. Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
• 17.55. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной гео
• 17.56. Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометрической прогрессии или как первый, второй, седьмой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
• 17.57. На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов. В результате во вторник вечером цена акции составила 99% о
• 17.58. В результате трехкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз?

КР.4 Вариант 1

• 1. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа √5: а) по недостатку; б) по избытку.
• 2. Постройте график последовательности у_n = 20 / (n+2).
• 3. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
• 4. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (a_n), если а₃ = 64, а₁₀ = 22.
• 5. Для прогрессии, приведенной в задании 4, найдите сумму всех ее положительных членов.
• 6. Докажите, что если последовательность b₁, b₂, ... , b_п, ... образует геометрическую прогрессию, то и последовательность b₁⁴, b₂⁴, ... , b_n⁴, ... также об
• 7. Дана геометрическая прогрессия (b_n). Найдите b₁, если
• 8. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии
• 9. Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
• 10. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры сотен вычесть 4, а остальные цифры искомого числа ос

КР.4 Вариант 2

• 1. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа √7: а) по недостатку; б) по избытку.
• 2. Постройте график последовательности y_n = (2-n)/3.
• 3. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 7. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
• 4. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (a_n), если a₁₂ = -40, a₁₈ = -22.
• 5. Для прогрессии, приведенной в задании 4, найдите сумму всех ее отрицательных членов.
• 6. Докажите, что если последовательность b₁, b₂, ... , b_n, ... образует геометрическую прогрессию, то и последовательность b₁³, b₂³, ... , b_n³, ... также об
• 7. Дана конечная геометрическая прогрессия (b_n). Найдите b₁, если
• 8. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии
• 9. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
• 10. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без и

§18. Комбинаторные задачи

• 18.1. Найдите количество всех: а) двузначных чисел; б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр; в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16; г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.
• 18.2. Из цифр 4, 6, 7 составляют различные трехзначные числа без повторяющихся цифр. а) Найдите наибольшее число. б) Найдите наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7. в) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 7, можно составить? г) Сколько всего чи
• 18.3. Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 составляют двузначное число (повторения цифр допускаются). а) Найдите наибольшее число. б) Найдите наименьшее число, которое кратно 9. в) Сколько четных чисел можно составить? г) Перечислите все числа, которые кратны 8.
• 18.4. Для завтрака на кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу. Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака. б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток? в) Что б
• 18.5. В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре черных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза. а) Нарису
• 18.6. В коридоре три лампочки. а) Сколько имеется различных способов освещения коридора, включая случай, когда все лампочки не горят? б) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что лампочки № 1 и № 2 горят или не горят одновременно? в
• 18.7. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага прямоугольник, разделенный на четыре вертикальные полосы одинаковой ширины разных цветов: белого, синего, красного, зеленого. У каждой страны — свой флаг. Сколько всего стран: а)
• 18.8. В книжке-раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры — в разные цвета. а) Сколько существует способов раскрашивания? б) Сколько среди них тех, в которых круг
• 18.9. На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: -3, -1, 1, 2, 7 (повторения допускаются). а) Сколько всего таких точек? б) Сколько точек лежит левее оси ординат? в) Сколько точек лежит выше
• 18.10. Известно, что х = 2^a3^b5^c и a, b, c — числа из множества {0, 1, 2, 3} (совпадения допускаются). а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них
• 18.11. Вычислите: а) 7!; б) 8!; в) 6! - 5!; г) 5!/5.
• 18.12. Вычислите:
• 18.13. Делится ли 11! на: а) 64; 6)25; в) 81; г) 49?
• 18.14. Сократите дробь:
• 18.15. Решите в натуральных числах уравнение:
• 18.16. К хозяину дома пришли гости А, В, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. а) Сколько существует способов рассаживания? б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно? в) Сколько существует способов рассажив
• 18.17. Из цифр 0, 2, 8, 9 составляют различные трехзначные числа (повторения цифр допускаются). а) Найдите наименьшее число. б) Укажите все числа, которые меньше 250. в) Укажите все нечетные числа, которые больше 900. г) Укажите все числа, которые кратны
• 18.18. На дне портфеля лежат неразличимые на ощупь карандаши: два простых и три цветных. Ученик вынимает их по одному. Ему нужны цветные карандаши, и вынутый простой карандаш он отправляет обратно на дно портфеля, а цветной оставляет на столе. Такая опера
• 18.19. В таблице собрана информация о выходе новостей на четырех телеканалах. ы хотите выбрать один выпуск новостей. Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора в период: а) с 6-00 до 11-45; б) с 12-00 до 15-45; в) с 15-00 до 19-45; г) с 18-00 до 23-45
• 18.20. Учительница подготовила к контрольной работе четыре задачи на решение линейных неравенств, пять текстовых задач (две на движение и три на работу) и шесть задач на решение квадратных уравнений (в двух задачах дискриминант отрицателен). В контрольной
• 18.21. На контрольной будет пять задач: по одной из пройденных пяти тем. По каждой теме учитель составил список из десяти задач. Известно, что на контрольной будут задачи именно из этих списков. По каждой теме ученик умеет решать восемь задач и не умеет р
• 18.22. Известно, что х = 2^a3^b5^c и a, b, c — различные числа из множества {0, 1, 2, 3}. а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет нечетных
• 18.23. а) Точки (0; 0), (2; 0), (3; 2) являются вершинами треугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами А, В, С? б) Точки (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) являются вершинами трапеции. Сколькими способами можно обозначить эти вершины
• 18.24. В волейбольной команде шесть человек, а на площадке шесть позиций (номеров) для их расстановки. а) Сколькими способами команда может расположиться на площадке? б) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится на подаче? в) Сколь
• 18.25. Упростите выражение:

§19. Статистика — дизайн информации

• 19.1. Укажите общий ряд данных следующих измерений: а) веса (в кг) взрослого человека; б) длины слова (количество букв в слове) русского языка; в) числа страниц в ежедневной газете; г) текущих отметок в школьном дневнике.
• 19.2. Укажите общий ряд данных следующих измерений: а) результатов прыжков в высоту (с точностью до 5 см) среди мальчиков 9-го класса; б) площади (в м²) кухни в городской квартире; в) высоты потолков (в дм) в городской квартире; г) суммы отмето
• 19.3. Продавец записывал вес каждого проданного арбуза (с точностью до 0,5 кг). У него получились такие данные: а) Сколько арбузов он продал? б) Каков общий ряд данных измерения веса арбуза? в) Укажите наименьшую и наибольшую варианты этого измерения. г)
• 19.4. Результаты измерения роста (в см) девятиклассников представлены в таблице: а) Каков общий ряд данных измерения роста девятиклассников? б) Укажите наименьшую и наибольшую варианты проведенного измерения. в) Какова кратность варианты 168, варианты 179
• 19.5. Ценники в продуктовом магазине распределили по ценовым категориям. Получилось такое распределение (граничную цену относят к более высокой категории): а) Найдите объем измерения, т.е. количество распределенных ценников. б) Какова частота варианты «от
• 19.6. В специализированном спортивном магазине продается 50 видов велосипедов. Они распределены по цене (граничную цену относят к более высокой категории): а) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.? б) Какова частота очень дорогих (≥15 тыс.
• 19.7. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения оказались пустые места. Заполните их.
• 19.8. По приведенному многоугольнику кратностей данных (рис. 55) определите: а) количество вариант измерения; б) объем измерения; в) моду измерения; г) наименьшую из процентных частот вариант измерения.
• 19.9. У 25 девятиклассников спросили, сколько в среднем часов в день они смотрят телевизор. Вот что получилось: Определите: а) размах; б) моду; в) среднее значение. Постройте многоугольник процентных частот; укажите на нем данные, полученные в заданиях а)
• 19.10. Результатом измерения является последняя цифра натуральной степени двойки (числа 2ⁿ). а) Выпишите общий ряд данных этого измерения. б) Выпишите ряд данных этого измерения для п = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 1. в) Выпишите ряд данных этого измерен
• 19.11. 30 абитуриентов на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества баллов (оценки на экзаменах «2», «3», «4» или «5»): 20; 19; 12; 13; 16; 17; 17; 14; 16; 20; 14; 19; 20; 20; 16; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17;
• 19.12. Отдел технического контроля проверял массу килограммовых упаковок рафинированного сахара. Получились такие результаты (учитывалась масса упаковки): Они были распределены по категориям: «0» (норма) — от 1040 до 1060 г, «1» (перевес) — от 1060 до 108
• 19.13. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения оказались пустые места. Заполните их.
• 19.14. По приведенному многоугольнику кратностей данных (рис. 56): а) определите объем измерения; б) найдите моду измерения и ее частоту; в) составьте таблицу частот; г) нарисуйте многоугольник процентных частот.
• 19.15. Деталь по норме должна весить 431 г. Контроль при взвешивании 2000 деталей дал такие результаты: [] а) Чему равна мода измерения? б) Каков процент деталей, вес которых отличается от планового не более чем на два грамма? в) Составьте таблицу распред
• 19.16. Девятиклассник за первое полугодие получил итоговые пятерки по трем предметам, четверки по восьми предметам и тройки по пяти предметам. а) Найдите среднее значение его полугодовых оценок. б) Каким было бы среднее значение, если бы он по физкультуре
• 19.17. После урока по теме «Статистика» на доске осталась таблица [] и ответ: «Среднее значение = 10». а) Заполните пустое место в таблице. б) Укажите размах и моду распределения. в) Может ли в ответе для среднего значения стоять число 15, если все вариан
• 19.18. После урока по теме «Статистика» на доске осталась таблица [] и ответ: «Среднее значение = 10». а) Заполните пустое место в таблице. б) Укажите размах и моду распределения. в) Можно ли пустое место в таблице заполнить так, чтобы среднее значение ст
• 19.19. Таблица распределения кратностей имеет вид: [] а) Выразите через х среднее значение. б) Как выглядит график зависимости среднего значения от х ? в) Каким может быть целое число х, если модой является 0? г) Может ли мода распределения равняться трем
• 19.20. Таблица распределения кратностей имеет вид: [] а) Выразите через х среднее значение. б) Как выглядит график зависимости среднего значения от х? в) Каким может быть целое число х, если модой является 0? г) Может ли мода распределения равняться едини

§20. Простейшие вероятностные задачи

• 20.1. Из цифр 4, 6, 7 случайным образом составляют трехзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того, что получится: а) наибольшее из всех таких чисел; б) число, у которого вторая цифра 7; в) число, заканчивающееся на 6; г) число, кратное
• 20.2. Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что: а) в последний раз выпадет «решка»; б) ни разу не выпадет «орел»; в) число выпадений «орла» в два раза больше числа выпадений «решки»; г) при первых двух подбрасываниях результаты будут оди
• 20.3. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно: а) оканчивается нулем; б) состоит из одинаковых цифр; в) больше 27 и меньше 46; г) не является кубом другого целого числа.
• 20.4. Имеются четыре кандидата: Владимир Владимирович, Василий Всеволодович, Вадим Владимирович и Владимир Венедиктович. Из них случайно выбирают двоих. Какова вероятность того, что: а) будет выбран Владимир Венедиктович; б) отца одного из кандидатов зову
• 20.5. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что: а) его цифры различаются больше чем на 8; б) его цифры различаются больше чем на 7; в) при перестановке цифр местами получится двузначное число меньшее исходного; г) оно ближ
• 20.6. В задании линейной функции у = ах + 152 в качестве коэффициента а использовали некоторое число из множества {-10, -3, 0, 1, 2}. Найдите вероятность того, что график функции: а) не пересечет ось ординат; б) не пересечет ось абсцисс; в) пересечет ось
• 20.7. В каждую клетку таблички 2x2 случайным образом ставят крестик или нолик. Найдите вероятность того, что: а) будет поставлен ровно один крестик; б) будет поставлено ровно два нолика; в) в левой нижней клетке будет стоять крестик; г) в верхней левой и
• 20.8. 37 точек из 100 покрашены в красный цвет, а 23 точки из оставшихся покрашены в синий цвет. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется: а) синей; в) красной или синей; б) не красной; г) неокрашенной?
• 20.9. Найдите вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) четверка; б) четное число очков; в) число очков больше четырех; г) число очков, не кратное трем.
• 20.10. Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что: а) она не является дублем; б) на ней не выпала тройка; в) произведение очков на ней меньше 29; г) выпавшие очки различаются больше чем на 1.
• 20.11. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х² + 4х - 21 ≤ 0. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства:
• 20.12. В прямоугольнике ABCD отметили середины К и L сторон CD и AD соответственно, а также точки М и N на сторонах АВ и ВС так, что AM : МВ = 1 : 3 и BN : NC =1:2. В прямоугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется:
• 20.13. Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 случайным образом составляют двузначное число (повторения допускаются). Какова вероятность того, что получится: а) наименьшее из всех таких чисел; б) четное число; в) число, кратное 9; г) число, удаленное от 50 менее чем на 20
• 20.14. Монету подбрасывают четыре раза. Какова вероятность того, что: а) все четыре раза результат будет одним и тем же; б) при первых трех подбрасываниях выпадет «решка»; в) в последний раз выпадет «орел»; г) «орлов» и «решек» выпадет одинаково?
• 20.15. В квадратное уравнение х² + bx + 15 = 0 в качестве коэффициента b подставили некоторое натуральное число от 2 до 11. Найдите вероятность того, что у полученного квадратного уравнения: а) будут два различных корня; б) не будет корней; в)
• 20.16. В уравнение окружности х² + у² = R² в качестве радиуса R подставляют натуральное число от 1 до 20. Найдите вероятность того, что: а) точка (1; 0) будет лежать на этой окружности; б) точка (0; -1) будет принадлежать
• 20.17. В уравнение гиперболы у = k/x в качестве коэффициента k подставили некоторое число из множества {-5, -2, 1, 3, 4}. Найдите вероятность того, что такая гипербола: а) пройдет через начало координат; б) пересечет прямую у = х; в) пройдет через точку (
• 20.18. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что: а) обе карты — тузы черной масти; б) вторая карта — пиковый туз; в) первая карта — туз красной масти; г) среди выбранных карт есть бубновый туз.
• 20.19. Игральный кубик бросили дважды. Найдите вероятность того, что: а) среди выпавших чисел есть хотя бы одна единица; б) сумма выпавших чисел не больше 3; в) сумма выпавших чисел меньше 11; г) произведение выпавших чисел меньше 27.
• 20.20. Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что: а) оно не оканчивается нулем; б) среди его цифр есть хотя бы одна большая двух; в) оно не является квадратом другого целого числа; г) сумма его ци
• 20.21. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства | x — 4| ≤ 5. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства: а) |x| ≤ 1; б) |х| ≥ 2; в) 4 ≤ |x| ≤ 5; г) |x + 4| ≤ 5?
• 20.22. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 6, а катет ВС равен 8. Из вершины С провели высоту СН и медиану СМ. В треугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется: а) в треугольнике ACM; б) в треугольнике AC

§21. Экспериментальные данные и вероятности событий

• 21.1. а) Сколько чисел, кратных четырем, находится среди первых 17 натуральных чисел? б) Какова частота чисел, кратных четырем, среди первых 17 натуральных чисел? в) Заполните таблицу (см. с. 136) появления чисел, кратных четырем, среди первых n натуральн
• 21.2. По многолетней статистике отдела контроля из 1000 экземпляров некоторой детали, выпущенной на предприятии, в среднем оказывается 4 бракованные детали. Сколько бракованных деталей в среднем можно ожидать: а) в партии из 4000 деталей; б) в партии из 7
• 21.3. По сведениям университетской приемной комиссии, процент поступающих, верно решивших все задачи на письменном экзамене по математике, практически постоянен за последние несколько лет и равен примерно 1,5%. а) В прошлом году было 405 абитуриентов. Оце
• 21.4. По статистике ежедневных продаж в продовольственном супермаркете процент чеков на сумму менее 100 р. достаточно устойчив и колеблется от 9% (по субботам) до 11% (по вторникам). а) Во вторник в супермаркете было 1247 покупателей. Оцените количество п
• 21.5. На железнодорожном вокзале при проходе к поездам пригородного сообщения стоят турникеты. Примерно 38% ежедневно проданных билетов составляют билеты до 2-й зоны и 17% составляют билеты до 3-й зоны. а) В понедельник было продано 12 153 билета до 2-й з
• 21.6. а) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 4, находится среди первых 17 натуральных чисел? б) Какова частота чисел, оканчивающихся на 4, среди первых 17 натуральных чисел? в) Заполните таблицу появления чисел, оканчивающихся цифрой 4, среди первых л на
• 21.7. а) Сколько чисел, начинающихся с цифры 4, находится среди первых 17 натуральных чисел? б) Какова частота чисел, начинающихся с цифры 4, среди первых 17 натуральных чисел? в) Заполните таблицу появления чисел, начинающихся с цифры 4, среди первых л н
• 21.8. По статистике выполнения заданий единого государственного экзамена (ЕГЭ) количество учеников, решавших задание под номером А7, составило 73%, а решивших его — примерно 64% от общего числа участников. а) Всего в ЕГЭ участвовало около 700 тыс. человек
• 21.9. а) Проведите эксперимент с подбрасываниями игрального кубика; результаты (количество выпадений определенного числа очков) впишите в таблицу: б) Повторите этот же эксперимент еще дважды и заполните таблицу: в) Объедините свои результаты с результатам
• 21.10. а) Проведите эксперимент с подбрасываниями двух разноцветных игральных кубиков; результаты (количество бросков, при которых выпала нужная сумма очков) впишите в таблицу: [] б) Повторите этот же эксперимент еще трижды и заполните таблицу: в) Объедин

КР.5 Вариант 1

• 1. В кошельке лежит много монет по 1 р., по 2 р. и по 5р. Случайным образом поочередно достают 3 монеты. Перечислите варианты, при которых сумма будет меньше 6р.
• 2. В меню 5 видов пирожков и 6 видов напитков. Сколькими способами можно выбрать на завтрак пирожок и напиток, если известно, что один из видов пирожков плохо сочетается с двумя видами напитков?
• 3. Бросили две разноцветные игральные кости. В скольких случаях выпавшие очки будут отличаться менее чем на 2?
• 4. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число будет делиться на 13?
• 5. В плитке шоколада размером 3x6 случайно выбрали дольку 1x1. Какова вероятность того, что выбрали крайнюю, но не угловую дольку?
• 6. Сгруппируйте ряд данных и найдите процент результатов, отличающихся от его моды более чем на 4: 10, 5, 10, 0, 3, 5, 4, 5, 5, 9, 4, 6, 0, 4, 3, 1, 10, 5, 4, 1.
• 7. Среднее арифметическое десяти последовательных результатов измерения равно 26,5. Найдите последний результат, если известно, что результаты образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной -3.

КР.5 Вариант 2

• 1. В кошельке лежит много монет по 1 р., по 2 р. и по 5 р. Случайным образом поочередно достают 3 монеты. Перечислите варианты, при которых сумма будет больше 8 р.
• 2. В меню 6 видов пирожков и 5 видов напитков. Сколькими способами можно выбрать 2 разных пирожка и 2 разных напитка?
• 3. Бросили две разноцветные игральные кости. В скольких случаях выпавшие очки будут отличаться более чем на 3?
• 4. Какова вероятность того, что у случайным образом выбранного двузначного числа сумма цифр будет больше 15?
• 5. В плитке шоколада размером 4x5 случайно выбрали дольку 1x1. Какова вероятность того, что выбрали не крайнюю дольку?
• 6. Сгруппируйте ряд данных и найдите процент результатов, отличающихся от его моды менее чем на 2: 10, 9, 10, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9, 6, 8, 4, 3,1, 6, 3, 4, 1.
• 7. Среднее арифметическое десяти последовательных результатов измерения равно -2. Найдите восьмой по счету результат, если известно, что результаты образуют арифметическую прогрессию с разностью 2.

Числовые выражения

• 1. На какое из указанных чисел делится произведение 213 • 65? 1) 26; 2) 142; 3) 45; 4) 39?
• 2. На какое из указанных чисел не делится значение выражения 23² + 23 • 26? 1) 23; 2) 7; 3) 9; 4) 49?
• 3. На какое из указанных чисел делится значение выражения 108² - 87²? 1) 70; 2) 91; 3) 95; 4) 143;
• 4. Вычислите:
• 5. Вычислите:
• 6. Вычислите:
• 7. Вычислите:
• 8. Вычислите:
• 9. Вычислите:
• 10. Вычислите: (√l6)³ - 51⁰ - 3² * 3^-4 - 2 : 2^-3.
• 11. Вычислите:
• 12. Вычислите: 2⁷ * (2²)^-5 : (2^-3)³.
• 13. Вычислите: (5^-3)²: 5³ * (5²)⁴.
• 14. Вычислите:
• 15. Вычислите:
• 16. Вычислите:
• 17. Вычислите:
• 18. Расстояние между двумя населенными пунктами составляет 1,7 • 10⁴ м. Выразите это расстояние в километрах. 1) 17 км; 2) 170 км; 3) 1700 км; 4) 0,17 км.
• 19. Масса продуктов на оптовой базе составляет 4 500 000 кг. Выразите эту массу в тоннах и запишите полученное число в стандартном виде.
• 20. Расстояние между двумя населенными пунктами на карте составляет 1,25 * 10² мм. Выразите это расстояние в метрах.
• 21. Участок имеет площадь 632 м². Выразите площадь участка в гектарах, записав полученное число в стандартном виде.
• 22. Вычислите:
• 23. Вычислите:
• 24. Между какими последовательными натуральными числами находится √183?
• 25. Между какими последовательными натуральными числами находится 10√3?
• 26. На координатной прямой (рис. 57) отмечены точки А, В, D. Где должна быть расположена точка С(4√11)? 1) Левее А; 2) между А и В; 3) между В и D; 4) правее D.
• 27. На координатной прямой (рис. 58) отмечены точки К, М, N. Где должна быть расположена точка Р(3√15)? 1) Левее К; 2) между К и М; 3) между М и N; 4) правее N.
• 28. Расположите числа 4√5; 3√7; 5√3; 2√11 в порядке возрастания.
• 29. Расположите числа 7√3; 8√2; 4√7; 5√6 в порядке убывания.
• 30. Вычислите:
• 31. Вычислите:
• 32. Вычислите:
• 33. Вычислите:
• 34. Вычислите:
• 35. Вычислите:
• 36. Вычислите:
• 37. Вычислите:
• 38. Найдите значение выражения
• 39. Найдите значение выражения
• 40. Найдите значение выражения
• 41. Найдите значение выражения
• 42. Найдите значение выражения
• 43. Найдите значение выражения

Алгебраические выражения

• 1. Кинетическая энергия вычисляется по формуле E = mv²/2. Выразите из этой формулы скорость v.
• 2. При равноускоренном движении ускорение вычисляется по формуле а = (v-v₀)/t Выразите из этой формулы начальную скорость v₀.
• 3. Упростите выражение
• 4. Упростите выражение
• 5. Упростите выражение
• 6. Упростите выражение
• 7. Упростите выражение
• 8. Упростите выражение
• 9. Упростите выражение
• 10. Упростите выражение
• 11. Найдите значение выражения
• 12. Найдите значение выражения
• 13. Найдите значение выражения
• 14. Найдите значение выражения
• 15. Найдите значение выражения
• 16. Найдите значение выражения
• 17. Найдите значение выражения
• 18. Найдите значение выражения
• 19. Разложите квадратный трехчлен х² - 4х - 45 на множители.
• 20. Разложите квадратный трехчлен -х² + 2х + 24 на множители.
• 21. Разложите квадратный трехчлен 3х² + 13х - 10 на множители.
• 22. Разложите квадратный трехчлен -4x² + 5х + 6 на множители.
• 23. Упростите выражение
• 24. Упростите выражение
• 25. Найдите значение выражения
• 26. Найдите значение выражения
• 27. Найдите значение выражения
• 28. Найдите значение выражения
• 29. Найдите наименьшее значение выражения 2x² - 8x - 7.
• 30. Найдите наибольшее значение выражения
• 31. Упростите выражение
• 32. Упростите выражение
• 33. Найдите значение выражения
• 34. Найдите значение выражения
• 35. Найдите значение выражения
• 36. Найдите значение выражения
• 37. Найдите значение алгебраической дроби
• 38. Найдите значение алгебраической дроби
• 39. Зная, что (x-3y)/y = 6, найдите x/y.
• 40. Зная, что (2x+y)x = -2, найдите x/y.
• 41. Сколько существует натуральных значений n, при которых алгебраическая дробь (15-4n)/n является целым числом?
• 42. Сколько существует натуральных значений n, при которых алгебраическая дробь (18-n)/n является целым числом?
• 43. Сколько существует натуральных значений n, при которых алгебраическая дробь (12-5n)/n является натуральным числом?
• 44. Найдите сумму натуральных значений n, при которых алгебраическая дробь (30-7n)/n является натуральным числом.
• 45. Найдите значение выражения
• 46. Найдите значение выражения
• 47. Найдите значение выражения
• 48. Найдите значение выражения

Функции и графики

• 1. Укажите функцию, графиком которой является прямая.
• 2. Укажите функцию, графиком которой не является прямая.
• 3. Какое из перечисленных уравнений является уравнением прямой?
• 4. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 59.
• 5. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 60.
• 6. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 61.
• 7. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат параллельно графику функции, изображенному на рисунке 62.
• 8. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку (0; -5) параллельно графику функции, изображенному на рисунке 63.
• 9. Найдите абсциссу точки пересечения прямых у = 37, у = 2х + 11. 1) 24; 2) 13; 3) -13; 4) 37.
• 10. Найдите координаты точки пересечения прямых у = -21х + 84, у= 19х- 76. 1) (4; 0); 2) (-4; 0); 3) (0; 4); 4) (-4; 4).
• 11. Укажите точку, которая принадлежит графику функции y = 0,6x - 4.
• 12. Укажите точку, которая не принадлежит графику функции у = -0,2х + 5.
• 13. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку (20; 4).
• 14. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки (0; -3) и (3; 0).
• 15. Составьте уравнение прямой, параллельной графику функции у = 4х - 3 и проходящей через точку (0; 77).
• 16. Составьте уравнение прямой, параллельной графику функции у = 0,3x и проходящей через точку (1; -0,7).
• 17. Укажите функцию, графиком которой является парабола.
• 18. Укажите функцию, графиком которой не является парабола.
• 19. Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 64.
• 20. Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 65.
• 21. Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 66.
• 22. Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 67.
• 23. Используя рисунок 68 (а — г), укажите график функции у = х² + 4x - 5.
• 24. Используя рисунок 69 (а — г), укажите график функции у = -х² + 6х - 7.
• 25. Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 70.
• 26. Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 71.
• 27. Найдите наименьшее значение функции у = х² - 2х + 3 на отрезке [-2; -1].
• 28. Найдите наибольшее значение функции у = -х² - 4х + 5 на отрезке [-1; 0].
• 29. Найдите наименьшее значение функции у = 2х² - 4х + 1 на отрезке [-1; 2].
• 30. Найдите наибольшее значение функции у = -3х² + 12x - 8 на отрезке [0; 4].
• 31. Найдите наименьшее значение функции у = 2x² + 3x - 2.
• 32. Найдите наибольшее значение функции y = -5x² + 6х - 1.
• 33. Укажите промежуток возрастания функции у = х² - 3x + 4.
• 34. Укажите промежуток убывания функции у = 2x² + 9х - 5.
• 35. Укажите промежуток возрастания функции у = -х² + 6х + 7.
• 36. Укажите промежуток убывания функции у = -3х² - 6х - 4.
• 37. Укажите, какому промежутку принадлежат нули функции у = 3х² - 10х + 3.
• 38. Укажите, какому промежутку принадлежат нули функции у = -4х² + 13х + 12.
• 39. При каких значениях х функция у = х² - 7х - 8 принимает неотрицательные значения?
• 40. При каких значениях х функция у = -х² + 8х + 20 принимает неположительные значения?
• 41. При каких значениях х функция у = х² + 8х + 16 принимает положительные значения?
• 42. При каких значениях х функция у = х² - 18х + 81 принимает неположительные значения?
• 43. При каких значениях х функция у = х² + 3х + 10 принимает неотрицательные значения?
• 44. При каких значениях х функция у = -х² + 6х - 16 принимает положительные значения?
• 45. На рисунке 72 изображен график квадратичной функции у = ах² + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
• 46. На рисунке 73 изображен график квадратичной функции у = ах² + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
• 47. На рисунке 74 изображен график квадратичной функции у = ах² + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
• 48. На рисунке 75 изображен график квадратичной функции у = ах² + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
• 49. Укажите функцию, графиком которой является гипербола.
• 50. Укажите уравнение, графиком которого является гипербола.
• 51. Укажите функцию, графиком которой не является гипербола.
• 52. Функция задана формулой у = k/x. Определите значение коэффициента k, если известно, что график функции проходит через точку (-0,3; -2,1).
• 53. Функция задана формулой у = k/(x+4). Определите значение коэффициента к, если известно, что график функции проходит через точку (-8; 2,4).
• 54. Функция задана формулой у = k/x - 27. Определите значение коэффициента k, если известно, что график функции проходит через точку (6; -87).
• 55. Функция задана формулой у = k/(x-6) + 24. Определите значение коэффициента k, если известно, что график функции проходит через точку (-9; -6).
• 56. Определите точки, принадлежащие графику функции у = -150/x, если
• 57. Определите точки, принадлежащие графику функции у = 324/(x-30), если
• 58. Определите точку, которая не принадлежит графику функции у = -192/x + 54.
• 59. Определите точки, принадлежащие графику функции 144 у = 144/(x+5) - 84, если A(-11; 60), В(13; -76), С(-3; 12), D(-6,5; -180).
• 60. Найдите область определения функции у = 5/(x-4).
• 61. Найдите область определения функции
• 62. Найдите область определения функции у = 2(х + 9)^-1.
• 63. Найдите область определения функции у = -3(х - 5)^-1 - 7.
• 64. Укажите множество значении функции у = 1/x +2.
• 65. Укажите множество значений функции у = 2x^-1.
• 66. Укажите множество значений функции у = 3/(x+2).
• 67. Укажите множество значений функции у = 4/(x-8) - 6.
• 68. Укажите множество значений функции у = (х - 2) ^-1 + 8.
• 69. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 76.
• 70. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 77.
• 71. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 78.
• 72. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 79.
• 73. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 80.
• 74. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 81.
• 75. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 82.
• 76. Укажите уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 83.
• 77. Укажите промежутки убывания функции y=5/(x+4).
• 78. Укажите промежутки возрастания функции y = -7/(x-1).
• 79. Укажите промежутки убывания функции у = 3(х - 2)^-1.
• 80. Укажите промежутки возрастания функции у = -(х + 5)^-1.
• 81. Найдите наименьшее значение функции у = 6/(x-2) на отрезке [-8; -3].
• 82. Найдите наибольшее значение функции у = 10/(x+5) на отрезке [-4,5; -2,5].
• 83. Найдите наименьшее значение функции у = х^-1 - 3 на отрезке [2: 4].
• 84. Найдите наибольшее значение функции у = (х + 4)^-1 на отрезке [8; 10].
• 85. Найдите наибольшее значение функции у = 6х^-1 - 0,5 на отрезке [-4; -0,25].
• 86. Соотнесите аналитическое и графическое задания функций (рис. 84, а — г).
• 87. Соотнесите аналитическое и графическое задания функций (dhc. 85. а — г).
• 88. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 86.
• 89. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 87.
• 90. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 88.
• 91. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 89.
• 92. На рисунке 90 изображен график функции у = f(x). При каких значениях х выполняется неравенство f(x) > 0?
• 93. На рисунке 91 изображен график функции у = f(x). При каких значениях х выполняется неравенство f(x) ≤ 0?
• 94. На рисунке 91 изображен график функции у = f(x). Укажите, при каких значениях х функция возрастает.
• 95. На рисунке 91 изображен график функции у = f(x). Укажите, при каких значениях х функция убывает.
• 96. На рисунке 91 изображен график функции у = f(x). Укажите нули функции.
• 97. На рисунке 91 изображен график функции у = f(x). Определите, при каких значениях р уравнение f(x) = р имеет один корень.
• 98. На рисунке 92 изображен график функции у = f(x). Сколько нулей имеет данная функция?
• 99. На рисунке 92 изображен график функции у = f(x). При каких значениях р уравнение f(x) = p имеет один корень?
• 100. На рисунке 92 изображен график функции у = f(x). Определите, сколько решений имеет уравнение f(x) = 1.
• 101. На рисунке 92 изображен график функции у = f(x). Определите, сколько решений имеет уравнение f(x) = 0,3.
• 102. Используя рисунок 93 (а - г), укажите график четной функции.
• 103. Используя рисунок 94 (а — г), укажите график нечетной функции.
• 104. Укажите функцию, которая является четной.
• 105. Укажите функцию, которая является нечетной.
• 106. Укажите функцию, график которой симметричен относительно начала координат.
• 107. Укажите функцию, график которой симметричен относительно оси Оу.
• 108. Укажите функцию, графиком которой является кубическая парабола.
• 109. Задайте аналитически кубическую параболу, график которой изображен на рисунке 95.
• 110. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 96.
• 111. Найдите область определения функции у = х^-2.
• 112. Найдите область определения функции у = (x - 1)^-2.
• 113. Найдите область определения функции у = (х + 1)^-2 - 2.
• 114. Найдите область определения функции у = -х^-2 + 4.
• 115. Найдите множество значений функции у = х⁴ - 5.
• 116. Найдите множество значений функции у = (х - 1)⁴ + 3.
• 117. Найдите множество значений функции у = -(x + 1)⁴.
• 118. Найдите множество значений функции у = -(x - 1)⁴ + 8.
• 119. Укажите промежутки возрастания функции y = 6/(x-1)².
• 120. Укажите промежутки возрастания функции у = -4(х - 3)^-2.
• 121. Укажите промежутки возрастания функции
• 122. Укажите промежутки возрастания Функции у = -(х - 2)⁴.
• 123. Укажите промежутки убывания функции у = -5 / (x+4)².
• 124. Укажите промежутки убывания функции у = 2(x + 2)^-2.
• 125. Укажите промежутки убывания функции у = (x - 4)⁴ + 1.
• 126. Укажите промежутки убывания функции у = -(х + 3)^{4 _} 2.
• 127. Укажите функцию, которая возрастает на всей числовой прямой
• 128. Укажите функцию, которая убывает на всей числовой прямой
• 129. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций у = 7х и у = -5x + 21.
• 130. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций у = 9х - 4 и у = 4х + 9.
• 131. Найдите ординату точки пересечения графиков функций у = -8х + 11 и у = -2х - 7.
• 132. Найдите ординату точки пересечения графиков функций у = 21x и у = х - 6.
• 133. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 15x + 4 и у = 11x - 8. В ответе укажите сумму найденных координат.
• 134. Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 8x - 11 и y = -6x + 7. В ответе укажите значение выражения x/y.
• 135. Найдите значение параметра а, если известно, что прямая ах + 6у = 4 проходит через точку (2; 1).
• 136. Найдите значение параметра b, если известно, что прямая -4х + by = -2 проходит через точку (3; 8).
• 137. Найдите значение параметра с, если известно, что прямая 2х - 5y + c = 0 проходит через точку (2; -1).
• 138. Найдите значения параметров a и b, если известно, что прямая ах + by = 12 проходит через точки (2; 4) и (-3; 0). В ответе укажите значение выражения а + b.
• 139. Найдите значения параметров а и b, если известно, что прямая ах + by = -18 проходит через точки (0; -6) и (-20; 4). В ответе укажите значение выражения ab.
• 140. Найдите отношение a/b, если известно, что прямая ах + by + с = 0 проходит через начало координат и точку (2; -6).
• 141. Найдите отношение c/b, если известно, что прямая ах + by + + с = 0 параллельна оси абсцисс и проходит через точку (3; 4).
• 142. Найдите отношение a/c, если известно, что прямая ах + by + с = 0 параллельна оси ординат и проходит через точку (-5; 1).
• 143. Найдите сумму целых взаимно простых параметров а,b и с, если известно, что прямая ах + by + с = 0 проходит через точки (-4; 1) и (3; 2).
• 144. Найдите наименьшее значение функции у = х² - 6х + 5.
• 145. Найдите наименьшее значение функции у = 8х² - 24х + 19.
• 146. Найдите наименьшее значение функции у = х² + 4х - 1.
• 147. Найдите наименьшее значение функции у = 6х² + 30х + 25.
• 148. Найдите наибольшее значение функции у = -10х² + 30х - 23.
• 149. Найдите наибольшее значение функции у = -5х² - 16х +11.
• 150. Найдите наибольшее значение функции у = √(16 - х²).
• 151. Найдите наибольшее значение функции у = √(0,25 - 3х²).
• 152. Найдите наименьшее значение функции у = 5 + 3√x.
• 153. Найдите наименьшее значение функции у = √(x² + 49).
• 154. Найдите наибольшее значение функции у = 1 - √х.
• 155. Найдите наименьшее значение функции у = √(2x² + 1,44).
• 156. Найдите наименьшее значение функции у = √(х² - 6х + 10).
• 157. Найдите наименьшее значение функции у = √(2х² + 4х + 6).
• 158. Найдите наибольшее значение функции у = √(-x² + 6х - 5).
• 159. Найдите наибольшее значение функции у = √(-х² - 4х + 5).
• 160. Найдите наибольшее значение функции y = 11 - √(х² - 4х + 3).
• 161. Найдите наименьшее значение функции y = 17 + √(х² + 5х + 6).
• 162. Найдите значение b, при котором прямая х = 2 является осью симметрии параболы у = 3х² + bх + 7.
• 163. Найдите значение b, при котором прямая х = -2 является осью симметрии параболы у = -5х² + bх + 3.
• 164. Найдите значение а, при котором прямая х = -4 является осью симметрии параболы у = ах² + 12х - 5.
• 165. Найдите значение а, при котором прямая х = 3 является осью симметрии параболы у = ах² + 18x - 4.
• 166. При каком значении р, где р = c/a, вершиной параболы у = ах² + 4х + с является точка (-1; 8)?
• 167. При каком значении р, где р = c/a, вершиной параболы у = ах² + 6x + с является точка (1; 6)?
• 168. При каком значении q, где q = c/b, вершиной параболы у = -2х² + bх + с является точка (3; 6)?
• 169. При каком значении q, где q = c/b, вершиной параболы у = 4х² + bх + с является точка (-1; -16)?
• 170. Определите, при каком значении с наименьшее значение функции у = 2х² + 16х + с равно -23.
• 171. Определите, при каком значении с наибольшее значение функции у = -3х² + 30x + с равно 27.
• 172. Укажите наибольшее значение функции у = 23 - |х - 9|.
• 173. Укажите наименьшее значение функции у = |х + 11| - 78.
• 174. На рисунке 97 изображена часть графика функции у = f(x). Найдите f(-7), если известно, что функция у = f(x) четная.
• 175. На рисунке 97 изображена часть графика функции у = f(x). Найдите f(-5), если известно, что функция у = f(x) нечетная.
• 176. На рисунке 98 изображена часть графика функции у = f(x). Найдите f(3), если известно, что функция у = f(x) четная.
• 177. На рисунке 98 изображена часть графика функции у = f(x). Найдите f(6), если известно, что функция у = f(x) нечетная.
• 178. Найдите наименьшее значение функции у = -12/(x²+2).
• 179. Найдите наименьшее значение функции у = 1 - 10/(x²+2).
• 180. Найдите наименьшее значение функции у = - 1/ √(x²+16).
• 181. Найдите наименьшее значение функции у = -3 - 4/ √(x²+4)
• 182. Найдите наибольшее значение функции у = 18 / (x²+6).
• 183. Найдите наибольшее значение функции у = 2 + 9 / (x²+3).
• 184. Найдите наибольшее значение функции у = 14 / √(x²+49)
• 185. Найдите наибольшее значение функции у = 3 + 12 / √ (x²+36)

Уравнения и системы уравнений

• 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 3(4x - 1) - 7(2x + 4) = х - 0,5.
• 2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 5(2x - 3) - (8x - 7) = 11 - 2x.
• 3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
• 4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
• 5. Укажите уравнение, которое имеет два различных действительных корня.
• 6. Укажите уравнение, которое имеет два отрицательных корня.
• 7. Укажите уравнение, которое не имеет действительных корней.
• 8. Найдите наибольший корень уравнения 12x² + 17x - 14 = 0.
• 9. Найдите наибольший корень уравнения -42x² + 71x - 30 = 0.
• 10. Найдите наименьший корень уравнения 20x² + 31x +12 = 0.
• 11. Найдите наименьший корень уравнения -24x² + 38x - 15 = 0.
• 12. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения 6х² + 13х + 6 = 0.
• 13. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения -25х² + 5х + 2 = 0.
• 14. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
• 15. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
• 16. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
• 17. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
• 18. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
• 19. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
• 20. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
• 21. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
• 22. Найдите модуль разности корней уравнения (х - 3)² = 16.
• 23. Найдите модуль разности корней уравнения 9х² + 12х = 5.
• 24. Решите уравнение
• 25. Решите уравнение
• 26. Решите уравнение
• 27. Решите уравнение
• 28. Решите уравнение
• 29. Решите уравнение
• 30. Решите уравнение
• 31. Решите уравнение
• 32. Решите уравнение
• 33. Решите уравнение
• 34. Решите уравнение
• 35. Решите уравнение
• 36. Решите уравнение
• 37. Решите уравнение
• 38. Найдите сумму корней уравнения
• 39. Найдите сумму корней уравнения
• 40. Найдите сумму корней уравнения
• 41. Найдите сумму корней уравнения
• 42. Найдите произведение корней уравнения
• 43. Найдите произведение корней уравнения
• 44. Сколько корней имеет уравнение
• 45. Решите уравнение. В ответе укажите сумму корней уравнения.
• 46. Решите уравнение
• 47. Решите уравнение
• 48. Решите уравнение
• 49. Решите уравнение
• 50. Решите уравнение
• 51. Решите уравнение
• 52. Решите уравнение
• 53. Решите уравнение
• 54. Решите уравнение
• 55. Решите уравнение
• 56. Решите уравнение
• 57. Решите уравнение
• 58. Решите уравнение
• 59. Решите уравнение
• 60. Решите уравнение
• 61. Решите уравнение
• 62. Укажите наибольший корень уравнения
• 63. Укажите наименьший корень уравнения
• 64. Найдите модуль разности корней уравнения
• 65. Найдите модуль разности корней уравнения
• 66. Найдите значение выражения где пары чисел (x₁; у₁), (х₂; у₂) являются решениями системы уравнений
• 67. Найдите значение выражения где пары чисел (х₁; у₁), (х₂; у₂) являются решениями системы уравнений
• 68. Найдите значение выражения где пары чисел (x₁; У₁), (х₂; у₂) являются решениями системы уравнений
• 69. Найдите значение выражения где пары чисел (x₁; у₁), (х₂; у₂) являются решениями системы уравнений
• 70. Найдите значение выражения x₁y₁ + х₂у₂, где пары чисел (x₁; y₁), (х₂; у₂) являются решениями системы уравнений
• 71. Найдите значение выражения x₁y₁ + х₂у₂, где пары чисел (x₁; y₁), (х₂; у₂) являются решениями системы уравнений
• 72. Определите, сколько решений имеет система уравнений
• 73. Определите, сколько решений имеет система уравнений
• 74. Определите, сколько решений имеет система уравнений
• 75. Определите, сколько решений имеет система уравнений
• 76. Определите, сколько решений имеет система уравнений
• 77. Определите, сколько решений имеет система уравнений
• 78. Решите систему уравнений
• 79. Решите систему уравнений
• 80. Решите систему уравнений
• 81. Решите систему уравнений
• 82. Решите систему уравнений
• 83. Решите систему уравнений
• 84. Решите систему уравнений
• 85. Решите систему уравнений
• 86. Найдите целое значение а, при котором ах + 5у = 0, если пара чисел (х; у) является решением системы уравнений
• 87. Найдите целое значение а, при котором ах + у = 6, если пара чисел (х; у) является решением системы уравнений
• 88. При каком значении а система уравнений имеет три решения?
• 89. При каком значении а система уравнений имеет одно решение?

Неравенства и системы неравенств

• 1. Решите неравенство 9х - 4 < 10х + 3.
• 2. Решите неравенство 12х+7≥ 9х-11.
• 3. Решите неравенство 0,3 + 0,2х ≥ 0,6х - 4,1.
• 4. Решите неравенство 2,2х - 0,1 < 1,8х + 2,9.
• 5. Решите неравенстве
• 6. Решите неравенство
• 7. Решите неравенство
• 8. Решите неравенство
• 9. Решите неравенство |2х - 4| ≥ 1.
• 10. Решите неравенство |5 - х| > 4.
• 11. Решите неравенство х²-7х+12≤0.
• 12. Решите неравенство -х² + 11x - 30 < 0,
• 13. Решите неравенство 7х² - 9х + 2 ≤ 0.
• 14. Решите неравенство -2х² + 9х - 7 < 0.
• 15. Решите неравенство -х² + 2х - 1 < 0.
• 16. Решите неравенство 4х² + 4х + 1 ≤ 0.
• 17. Решите неравенство 4х² ≥ 9х.
• 18. Решите неравенство 4х < 5х².
• 19. Решите неравенство х² < 121.
• 20. Решите неравенство х² ≥196.
• 21. Решите неравенство (х - 2)(х + 3)(8х - 2) < 0.
• 22. Решите неравенство (3х - 1)(х + 4)(х - 6) ≥ 0.
• 23. Решите неравенство х(х + 7)(3 - 6x) ≥ 0.
• 24. Решите неравенство (2х - 1)(4 - 12х)(х + 9) < 0.
• 25. Решите неравенство х(х + 5)(2 - 6х)(2х - 4) ≤ 0.
• 26. Решите неравенство
• 27. Решите неравенство
• 28. Решите неравенство
• 29. Решите неравенство
• 30. Решите неравенство
• 31. Решите неравенство
• 32. Решите неравенство
• 33. Решите неравенство х²(2х + 3) > 0.
• 34. Решите неравенство (х + 3)²(x - 2) < 0.
• 35. Решите неравенство (5х + 3)(4 - х)х² < 0.
• 36. Решите неравенство
• 37. Решите неравенство
• 38. Решите неравенство
• 39. Решите неравенство
• 40. Решите неравенство
• 41. Решите неравенство
• 42. Решите неравенство
• 43. Решите неравенство
• 44. Решите неравенство
• 45. Решите неравенство
• 46. Решите неравенство
• 47. Решите неравенство
• 48. Решите неравенство
• 49. При каких значениях переменной выражение √(56x+7) имеет смысл?
• 50. При каких значениях переменной выражение 1/√(5x-2) имеет смысл?
• 51. При каких значениях переменной выражение √((3-7x)^-1) имеет смысл?
• 52. При каких значениях переменной выражение √(x²+6x) имеет смысл?
• 53. При каких значениях переменной выражение имеет смысл?
• 54. Найдите область определения функции
• 55. Найдите область определения функции
• 56. Найдите область определения функции
• 57. Найдите область определения функции
• 58. Найдите область определения функции
• 59. Найдите область определения функции
• 60. Найдите область определения функции
• 61. Найдите область определения функции
• 62. Найдите область определения функции
• 63. Найдите область определения функции
• 64. Найдите область определения функции
• 65. Решите систему неравенств
• 66. Решите систему неравенств
• 67. Решите систему неравенств
• 68. Решите систему неравенств
• 69. Решите систему неравенств
• 70. Решите систему неравенств
• 71. Решите систему неравенств
• 72. Решите систему неравенств
• 73. Решите систему неравенств
• 74. Решите систему неравенств
• 75. Решите систему неравенств
• 76. Решите систему неравенств
• 77. Найдите область определения функции
• 78. Найдите область определения функции
• 79. Найдите область определения функции
• 80. Найдите область определения функции
• 81. Найдите область определения функции
• 82. Найдите область определения функции
• 83. Найдите область определения функции
• 84. Найдите область определения функции
• 85. Найдите область определения функции
• 86. Найдите область определения функции
• 87. Найдите область определения функции
• 88. Решите неравенство
• 89. Решите неравенство
• 90. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
• 91. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
• 92. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
• 93. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
• 94. Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства
• 95. Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства
• 96. Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства -2 < 7 - 3x < 4?
• 97. Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства -4 < 6 - 5х < 1?
• 98. Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства |х + 3| < 2?
• 99. Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства |x — 2| < 3?
• 100. Найдите координату середины отрезка, являющегося решением неравенства |3 - 5х| ≤ 7.
• 101. Найдите координату середины отрезка, являющегося решением неравенства |5 - 2х| ≤ 9.
• 102. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x² - x - 30 < 0?
• 103. Сколько целых чисел не удовлетворяют неравенству x² - 11x - 12 > 0?
• 104. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству 9х² - 5х - 4 ≤ 0?
• 105. Сколько целых чисел не удовлетворяют неравенству -4х² + 5x + 9 < 0?
• 106. Сколько целых чисел содержит решение неравенства
• 107. Сколько целых чисел содержит решение неравенства
• 108. Укажите наибольшее целое число, которое не является решением неравенства
• 109. Укажите наименьшее целое число, которое не является решением неравенства
• 110. Укажите наибольшее целое число, которое является решением системы неравенств
• 111. Укажите наименьшее целое число, которое является решением системы неравенств
• 112. Сколько целых чисел содержит решение неравенства
• 113. Сколько целых чисел содержит решение неравенства
• 114. При каких значениях n квадратное уравнение х² + (n - 2)х - (n - 5) = 0 имеет два корня?
• 115. При каких значениях n квадратное уравнение х² - (n + 1)x - (n - 2) = 0 не имеет корней?

Задачи на составление уравнений или систем уравнений

• 1. После рекламной кампании спрос на товар увеличился в 4 раза. На сколько процентов увеличился спрос на товар?
• 2. Во время сезонной распродажи цена на товар уменьшилась в 4 раза. На сколько процентов уменьшилась цена на товар?
• 3. В связи с инфляцией цена на товар возросла на 150%. Во сколько раз возросла цена на товар?
• 4. Цена на товар была сначала снижена на 10%, а затем еще на 20 %. На сколько процентов была снижена цена товара по сравнению с первоначальной?
• 5. Цену товара сначала повысили на 50%, а затем понизили на 20%. Во сколько раз изменилась цена товара?
• 6. Цена на товар была снижена на 10%, а затем повышена на 10%. Как изменилась цена на товар? 1) цена на товар осталась без изменения; 2) товар стал дороже на 0,1 %; 3) товар стал дешевле на 0,01%; 4) товар стал дешевле на 1 %.
• 7. Цену на товар понизили на 20 %. На сколько процентов необходимо повысить цену товара, чтобы она стала первоначальной?
• 8. В первый день туристы прошли 30% всего пути, во второй день — 120% пути, пройденного в первый день, а в третий — остальные 34 км. Сколько километров составлял весь путь?
• 9. Руда содержит 72% железа. Сколько тонн железа получится из 360 т руды?
• 10. Рубашка дешевле пиджака на 80%, а пиджак дороже брюк на 100%. На сколько процентов рубашка дешевле брюк?
• 11. Сливки составляют 20% всего молока, а сливочное масло — 25% сливок. Сколько литров молока необходимо взять, чтобы получить 180 г сливочного масла? (Масса 1 л молока равна 1 кг.)
• 12. К 180 г воды добавили 20 г соли. Определите процентное содержание соли в полученном растворе.
• 13. К 30%-му раствору серной кислоты добавили 60 г воды и получили 10%-й раствор. Найдите массу первоначального раствора серной кислоты.
• 14. Какое количество воды надо добавить к 3 л 36%-го раствора соли, чтобы получить 24%-й раствор?
• 15. Один сплав содержит 55% цинка, а другой — 70% цинка. После переплавки получили 750 г нового сплава с 60%-м содержанием цинка. Сколько граммов цинка содержалось в первом сплаве?
• 16. Смешали два раствора соляной кислоты 15%-й и 7%-й концентрации, после чего получили 480 г раствора 10%-й концентрации. Найдите массу 7%-го раствора.
• 17. В конце года банк начисляет 9 % к сумме вклада. Какую сумму получит вкладчик через 2 года, положив 30 000 р.?
• 18. В конце года банк начисляет 4% к сумме вклада. Какую сумму получит вкладчик через 3 года, положив 25 000 р.?
• 19. Швейная мастерская сшила всего 2600 детских спортивных костюмов, курток и комбинезонов. Комбинезонов сшито на 220 меньше, чем курток, а спортивных костюмов в 2 раза больше, чем курток. Сколько сшито спортивных костюмов?
• 20. Во время озеленения района было посажено всего 6780 деревьев. Из них лип посажено в 2 раза больше, чем кленов, а каштанов на 1200 меньше, чем лип. Сколько лип посажено в районе во время его озеленения?
• 21. Из пункта А в пункт В вышла моторная лодка со скоростью 12 км/ч. Через 4 ч вслед за ней вышла вторая моторная лодка, скорость которой 14 км/ч. Найдите расстояние между пунктами А и В, если обе моторные лодки прибыли в пункт В одновременно.
• 22. Катер прошел расстояние между пунктами А и В по течению реки за 4 ч 30 мин, а в обратную сторону за 6 ч 18 мин. Определите расстояние между пунктами А и В, если скорость течения реки 2,4 км/ч.
• 23. Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 2 см, то его площадь увеличится на 126 см². Найдите периметр прямоугольника.
• 24. Один катет прямоугольного треугольника на 17 см меньше другого. Найдите площадь этого треугольника, если гипотенуза равна 25 см.
• 25. Бассейн наполняется водой через одну трубу за 4 ч, а через вторую за 6 ч. Через сколько часов наполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно?
• 26. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить заказ за 3 ч 36 мин. Первый рабочий, работая один, может выполнить этот заказ за 6 ч. Сколько времени необходимо второму рабочему для выполнения заказа, если он будет работать один?
• 27. За 2,5 м шерстяной ткани и 4 м хлопчатобумажной ткани уплатили 2120 р. В конце сезона цена на шерстяную ткань снизилась на 20 %, а на хлопчатобумажную ткань повысилась на 10%, и такая покупка стала стоить 1882 р. Найдите первоначальную цену каждого ви
• 28. За 8 футболок и 10 спортивных маек уплатили 4560 р. Во время распродажи цена на футболки была снижена на 25%, а на спортивные майки на 10% и такая покупка стала стоить 3780 р. Найдите первоначальную цену каждого вида товара.
• 29. Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, выехали одновременно два поезда и встретились через 4 ч. Если бы второй поезд выехал на 50 мин раньше первого, то они встретились бы через 3 ч 36 мин. Найдите скорость каждого поезда.
• 30. Катер может пройти 80 км по течению реки и 40 км против течения за 6 ч 30 мин, а 40 км по течению и 80 км против течения за 7 ч. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.
• 31. Если длину данного прямоугольника увеличить на 8 см, а ширину на 6 см, то площадь прямоугольника увеличится на 632 см². Если же длину уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 8 см, то площадь прямоугольника увеличится на 164 см².
• 32. Скорость пассажирского поезда на 20 км/ч больше скорости товарного поезда, поэтому расстояние 700 км пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость товарного поезда.
• 33. Расстояние 36 км один лыжник прошел на 0,5 ч быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, если скорость одного из них на 1 км/ч больше скорости другого.
• 34. Расстояние между двумя пристанями 105 км катер проплывает по течению реки на 2 ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 18 км/ч.
• 35. Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторое задание за 6 дней. Одна бригада, работая отдельно, может выполнить это задание на 5 дней быстрее, чем вторая. За какое время может выполнить все задание вторая бригада, работая отдельно?
• 36. Две копировальные машины, работая одновременно, могут выполнить работу за 12 мин. Если будет работать только первая копировальная машина, то она может выполнить всю работу на 10 мин быстрее, чем вторая. За сколько минут всю работу может выполнить втор
• 37. Один асфальтоукладчик может выполнить задание на 15 дней быстрее, чем другой. После того как первый асфальтоукладчик проработал 10 дней, его сменил другой и закончил работу за 30 дней. За сколько дней могут выполнить всю работу два асфальтоукладчика,
• 38. Один экскаватор может вырыть котлован на 10 ч быстрее, чем другой. После того как первый экскаватор проработал 10 ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за 15 ч. За сколько часов могли бы вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременн

Арифметическая и геометрическая прогрессии

• 1. Укажите последовательность чисел, которая является арифметической прогрессией. 1) 2; 3; 5; 8; ... 2) 2; -2; -6; -10; ... 3) 2; 4; 8; 16; ... 4) 2; -1; 10; -7; 18; ...
• 2. Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией. 1) 2; 3; 5; 8; ... 2) 2; -2; -6; -10; ... 3) 16; 8; 4; 2; ... 4) 2; -1; 10; -7; 18; ...
• 3. Укажите первые три члена арифметической прогрессии (а_n), если а₁ = 0,5; d = 1,5. 1) 0,5; 1,5; 2,5; 2) 0,5; -1; -2,5; 3) 0,5; 0,75; 1,125; 4) 0,5; 2; 3,5.
• 4. Укажите первые четыре члена арифметической прогрессии (а_n), если а₁ = -3; d = -2,3. 1) -3; -2,6; -4,9; -7,2; 2) -3; -0,7; 1,6; 3,9; 3) -3; -5,3; -7,6; -9,9; 4) -3; 6,9; -15,87; 36,501.
• 5. Укажите первые пять членов геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 0,3, q = 2. 1) 0,3; 0,6; 0,12; 0,24; 0,48; 2) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; 3) 0,3; 0,9; 0,27; 0,81; 0,243; 4) 0,3; 0,15; 0,075; 0,0375; 0,01875
• 6. Укажите первые четыре члена геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 27, q = -1/3.
• 7. Последовательность (а_n), — арифметическая прогрессия. Найдите а₈, если a₁ = 2/3, d = -1/3.
• 8. Последовательность (а_n) — арифметическая прогрессия. Найдите a9, если a₁ = -1/4, d = 3/4.
• 9. Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Найдите b₄, если b₁ = -3, q = 1/2.
• 10. Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Найдите b₆, если b₁ = √2, q = -√2.
• 11. Найдите седьмой член арифметической прогрессии -24; -21; -18; ... 1) -6; 2) -42; 3) -3; 4) 3.
• 12. Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии 12; 8; 4; ... 1) 36; 2) -32; 3) 56; 4) -36.
• 13. Найдите шестой член геометрической прогрессии 6; 3; 1,5; ... 1) 3/16; 2) 0,6; 3) 192; 4) 60.
• 14. Найдите седьмой член геометрической прогрессии -10; 20; -40; ...
• 15. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если а₁ = 21, а₈ = 49. 1) 4; 2) 10; 3) -4; 4) 3,5.
• 16. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если a₁ = -18, a₁₀ = 18. 1) 0; 2) 4; 3) -4; 4) 3,6.
• 17. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = -4, b₆ = 1/8.
• 18. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 2, b₅ = 162. 1) 3; 2) -3; 3) ±3; 4) ±9.
• 19. Найдите первый член арифметической прогрессии (а_n), если а₁₃ = 5,1, d = -0,3. 1) 1,5; 2) 1,2; 3) 9; 4) 8,7.
• 20. Найдите первый член арифметической прогрессии (а_п), если a₁₈ = -9.6, d = 0.8. 1) 4; 2) -23,2; 3) -24; 4) 4,8.
• 21. Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Найдите b₁, если b₈ = 512, q = 2. 1) 0,5; 2) 0,25; 3) 4; 4) 2.
• 22. Последовательность (b_п) — геометрическая прогрессия. Найдите b₁, если b₃ = 1/3, b₄= -1/12. 1) 1/48_; 2) 16/3; 3) -16/3; 4) 4/3.
• 23. Найдите сумму первых 26 членов арифметической прогрессии (a₁), если а₁ = -4, d = 3. 1) 871; 2) 1089; 3) 837,5; 4) 1037,5.
• 24. Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии (a₁), если а₁ = 18, d = -2. 1) -175; 2) 1075; 3) 1050; 4) -150.
• 25. Найдите сумму первых пяти членов конечной геометрической прогрессии, если b₁ = 6, q = 3. 1) 726; 2) 729; 3) 240; 4) 243.
• 26. Найдите сумму первых четырех членов конечной геометрической прогрессии, если b₁ = 5/12, q = 1/5.
• 27. Найдите восьмой член арифметической прогрессии (а_n), если а₇ + а₉ = 0,18. 1) 0,36; 2) 0,18; 3) 0,09; 4) 0,9.
• 28. Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии (а_n), если a14 + a24 = -4/5.
• 29. Найдите а₄ + а₆ арифметической прогрессии (а_n), если а₂ + а₈ = -20,1. 1) -10,5; 2) -10,05; 3) -20,1; 4) -40,2.
• 30. Найдите а₅ + а₁₃ арифметической прогрессии (а_n), если a₁₀+a₈ = 3/4.
• 31. Укажите формулу, которая задает арифметическую прогрессию (а_n).
• 32. Укажите формулу, которая задает геометрическую прогрессию (b_n).
• 33. Арифметическая прогрессия (а_n) задана формулой n-ого члена а_n = -0,5n + 5. Найдите а₁₄-а₅. 1) 0,5; 2) -9,5; 3) -4,5; 4) -2,7.
• 34. Арифметическая прогрессия (а_n) задана формулой п-ого члена а_n = 3n - 4,2. Найдите a₁* a₈. 1) 21,6; 2) 2,16; 3) -2,64; 4) -23,76.
• 35. Дана последовательность а_п = -0,3n + 6. Укажите номер ее члена, равного -12,3. 1) 21; 2) 91; 3) 61; 4) 43.
• 36. Дана последовательность b_п = 2 * 5ⁿ⁺². Укажите номер ее члена, равного 1250. 1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 6.
• 37. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если а₃ = -2, а₉ = 19.
• 38. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если a₅ = 9, а₁₆ = -24.
• 39. Найдите первый член арифметической прогрессии (а_n), если a₅ = 43, a₉ = 21.
• 40. Найдите первый член арифметической прогрессии (а_n), если а₇ = 36, а₁₅ = 64.
• 41. Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии (b_n), если b₆ = 1/25, b₁₀ = 400.
• 42. Найдите знаменатель убывающей геометрической прогрессии (b_n), если b₅ = 3, b₇ = 3/25.
• 43. Найдите знаменатель знакочередующейся геометрической прогрессии (b_п), если b₃ = 5, b₇ = 405.
• 44. Укажите номер данного члена арифметической прогрессии -1; -0,5; 0; ... , если а_п = 15.
• 45. Укажите номер данного члена арифметической прогрессии 2; 4/3; 2/3; ... , если а_n = -4.
• 46. Укажите номер данного члена геометрической прогрессии 4; 12; 36; ... , если b_n = 972.
• 47. Укажите номер данного члена геометрической прогрессии 20; 4; 0,8; ... , если b_n = 4/625.
• 48. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии -14; -11,5; -9; ... положительны.
• 49. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии 28; 26,5; 25; ... отрицательны.
• 50. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии -32; -25,6; -18,2; ... неотрицательны.
• 51. Определите, начиная с какого номера, все члены данной арифметической прогрессии 15; 12,5; 10; ... неположительны.
• 52. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии -5; -1; 3 удовлетворяют неравенству а_n ≥ 27.
• 53. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии 3; 7; 11; ... удовлетворяют неравенству а_n > 55.
• 54. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии 2; 0,5; -1; ... удовлетворяют неравенству a_n ≤ -13.
• 55. Определите, начиная с какого номера, все члены арифметической прогрессии 16; 13; 10; ... удовлетворяют неравенству а_n < -8.
• 56. Найдите число членов геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 6, q = 3, S_n= 726.
• 57. Найдите число членов геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 128, q =1/2, b_n = 1/4.
• 58. Найдите разность арифметической прогрессии (a_n), если а₄ + а₁₀ - 36, а₈ - а₃ = 2.
• 59. Найдите первый член арифметической прогрессии (a_n), если a₅ + a₈ = 16, a₇ - a₂ = 4.
• 60. Найдите разность арифметической прогрессии (a_n), если а₆ + а₅ = -4, а₈ + а₁₀ = -18.
• 61. Найдите разность возрастающей арифметической прогрессии (а_n), если а₆ + а₈ = 15, а₂*а₁₂ = 56.
• 62. Найдите первый член убывающей арифметической прогрессии (а_n), если а₇ + а₂ = 5, а₅ * а₄ = -36.
• 63. Найдите значения t, при которых числа 3t + 2, 2t + 5, 15t + 1 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
• 64. Найдите значения t, при которых числа 3t - 4, 5t, 4t + 10 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
• 65. Найдите сумму первых п членов арифметической прогрессии (a_n), если а₃ = 10, а₁₂= 37, n = 21.
• 66. Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если а₈ = 8, а₁₅ = -27, n = 10.
• 67. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 12.
• 68. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 8.
• 69. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 3.
• 70. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 4.
• 71. Сумма двадцати пяти членов арифметической прогрессии равна 525. Найдите разность прогрессии, если известно, что ее первый член равен -51.
• 72. Сумма шестнадцати членов арифметической прогрессии равна 432. Найдите первый член прогрессии, если известно, что разность прогрессии равна -2.
• 73. Между числами 7 и 448 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.
• 74. Между числами 1/12 и 1/192 вставьте отрицательное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.
• 75. Найдите значение р, при котором числа p - 3, √4р, p + 2 являются последовательными тремя членами геометрической прогрессии.
• 76. Найдите значение р, при котором числа р - 5, √7p, р + 4 являются последовательными тремя членами геометрической прогрессии.
• 77. В прямоугольник со сторонами 16 см и 18 см вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. В полученный ромб аналогичным образом вписывается прямоугольник, а в него снова ромб и так далее. Докажите, что площади полученных
• 78. Клиент положил в банк 30000 рублей с ежеквартальным начислением 3 % сроком на полтора года. Какая сумма по вкладу будет им получена в конце срока?
• 79. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получатся три числа арифметической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число равно 60.
• 80. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первое число удвоить, второе оставить без изменения, а третье увеличить на 6, то получатся три последовательных числа геометрической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число в 4 раза боль