Начните вводить часть условия (например, могут ли, чему равен или найти):
§11. Подобие фигур
- № 1. При гомотетии точка X переходит в точку X', а точкаY — вточку Y'. Как найти центр гомотетии, если точки X, X', Y, Y' не лежат на одной прямой?1
- № 2. При гомотетии точка X переходит в точку X'. Постройте центр гомотетии если коэффициент гомотетии равен 2.
- № 3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии, равным 2.
- № 5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
- № 6. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, В1С1 = 3 м. Чему равны угол А1 и сторона А1В1?
- № 7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
- № 8*. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А. Построение:
- № 9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
- № 10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
- № 11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
- № 12. У треугольников АВС и А1В1С1 ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1 АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, А1С1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
- № 14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
- № 15. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Докажите, что ΔАВС ~ ΔА1В1С.
- № 16. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
- № 17. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, делит его сторону АС в отношении m:n, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
- № 18. В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если AB = 16 см, AC = 20 см и DE = 15 см.
- № 19. В задаче 18 найдите отношение AD:BD, если известно, что AC:DE=55:28
- № 20. Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если:
- № 21. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Докажите подобие треугольников ВСЕ и DAE.
- № 22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m:n.
- № 23. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении m:n. В каком отношении она делит другое основание?
- № 24. B трапеции ABCD с диагональю AC углы ABC и ACD равны. Найдите диагональ AC, если основания BC и AD соответственно равны 12 ми 27 м. Рассмотрим ΔACD и ΔCBA:
- № 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?
- № 26. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ = 5 см, ВС =10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.
- № 27. Найдите высоту треугольника AED из задачи № 26, опущенную на сторону AD, если BC=7 см, AD=21 см и высота трапеции равна 3 см.
- № 28*. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F.
- № 29*. У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD.
- № 30. Углы B и B1 треугольников ABC и A1B1C1 равны.
- № 32*. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника АВС.
- № 33*. Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче № 32 лежат на высотах треугольника АВС.
- № 34. Подобны ли два равносторонних треугольника?
- № 35. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если:
- № 37. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 ми 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
- № 38. Периметр одного треугольника составляет периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
- № 39. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°? У подобных треугольников углы равны, к тому же сумма
- № 40. Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
- № 41. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
- № 42. Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
- № 43. Катеты прямоугольного треугольника относятся как m:n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
- № 44. Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
- № 45. В треугольник АВС вписан ромб ΔDEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b.
- № 46*. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС.
- № 47*. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
- № 48. Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
- № 49. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
- № 50. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
- № 51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Пусть ΔАВС вписан в окружность с центром О.
- № 52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника. Опишем около ΔABC окружность.
- № 53. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Пусть AC — гипотенуза; BD = b — высота.
- № 54. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D.
- № 55. Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол ABC равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
- № 56*. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность. По теореме 11.5 имеем:
- № 57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
- № 58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности сконцами в этих точках. Пусть AB —
- № 59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
- № 60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
- № 61. Из точки С окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру АВ. Докажите, что CD2 = AD•BD. Пусть АВ — диаметр окружности; CD ⊥ AB.
- № 62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС•ВС = CD2.
- № 63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
- № 64. Bычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
Комментарии