Начните вводить часть условия (например, могут ли, чему равен или найти):
Глава V. Четырехугольники. Задачи повышенной трудности
- 811 Дан выпуклый шестиугольник А1А2А3А4А5А6, все углы которого равны. Докажите, что А1А2-А4А5=А5А6-A2A3=A3A4 -A6A1.
- 812 Положительные числа a1, а2, а3, а4, а5 и а6 удовлетворяют условиям а1- а4=а5- а2 = a3 - a6.Докажите, что существует выпуклый шестиугольник А1А2А3А4А5А6, все углы которого равны, причем А1А2=а1,А2А3=a2, A3A4=a3, А4A5=а4, А5А6=а5 и А6A1=а6.
- 813 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырехугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
- 814 Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются.
- 815 Докажите, что в любом четырехугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
- 816 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведенная через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведенных из точек В и D к прямой АС. Найдит
- 817 Докажите, что в треугольнике сумма трех медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
- 818 Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырехугольник — ромб.
- 819 Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.
- 820 Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
- 821 При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник — квадрат.
- 822 На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.
- 823 На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = ВК + DM.
- 824 На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму ∠BAE +∠CAE +∠DAE.
- 825 Внутри квадрата ABCD взята точка М, такая, что ∠MAB = 60°, ∠MCD= 15°. Найдите ∠MBC.
- 826 На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, BAHK, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.
- 827 Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагоналям.
- 828 Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
Комментарии