819 Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Решение. Пусть А и а — данные точка и прямая, АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, точка В — середина отрезка АН (рис. 54). Через точку В проведем прямую р, параллельную прямой а, и докажем, что искомое множество точек есть прямая р.

Если X — произвольная точка прямой а, то прямая р пересекает отрезок АХ в его середине (см. задачу 384). Следовательно, середины отрезков, соединяющих точку А со всеми точками прямой а, лежат на прямой р.

Докажем теперь, что любая точка М прямой р является серединой отрезка, соединяющего точку А с какой-то точкой прямой а. Пусть прямая AM пересекает прямую а в точке Y (см. рис. 54). Согласно задаче 384 прямая р пересекает отрезок AY в его середине, т. е. точка М — середина отрезка AY.

Итак, искомым множеством точек является прямая р.

Ответ. Прямая, параллельная данной прямой и проходящая через середину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.