821 При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник — квадрат.

Решение. Пусть MNPQ — четырехугольник, образованный при пересечении биссектрис углов прямоугольника ABCD (рис. 56).

Согласно задаче 428 четырехугольник MNPQ — прямоугольник. Докажем, что

Итак, в прямоугольнике MNPQ две смежные стороны равны, следовательно, MNPQ — квадрат.