887 Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD2=AB⋅ВС - AD⋅DC.

Решение.

Пусть Е — точка пересечения луча BD с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 276). Треугольники АВЕ и BCD подобны, так как ∠ABE = ∠BDC по условию, а вписанные углы BEА и ВСА опираются на одну и ту же дугу АВ. Следовательно,

откуда

Но по теореме о пересекающихся хордах

Следовательно,

Источник:

Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №887
к главе «Глава VIII. Окружность. Задачи повышенной трудности».

Все задачи

← 886 Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а А', В', С' — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А', В', С' лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

888 В треугольнике ABC из вершины В проведены высота ВН и биссектриса угла B, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН. →

Комментарии