№ 39. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.

Продлим медианы так, чтобы: BD = DO, B₁D₁ = D₁O₁. В ΔADO и ΔDBC: AD = DC (из условия) BD = DO (по построению) ∠ADO = ∠BDC (как вертикальные).

Таким образом, ΔADO = ΔBDC по 1-му признаку равенства треугольников; откуда АО = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠AOD = ∠DBC.

Аналогично ΔA₁D₁O₁ = ΔD₁B₁O₁ и А₁О₁ = В₁С₁, ∠A₁O₁D₁ = ∠D₁В₁С₁.

Т.к. ВС = В₁С₁, то АО = А₁О₁. В ΔАОВ и ΔА₁О₁В₁: АВ = А₁В₁ (из условия), АО = А₁О₁ (по построению), ВО = В₁О₁ (по построению),

Таким образом, ΔАВО = ΔА₁В₁О₁ по 3-му признаку равенства треугольников. Откуда

∠A₁B₁C₁ = ∠A₁B₁D₁ + ∠D₁B₁C₁, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны.

Следовательно ∠АВС = ∠А₁В₁С₁.

В ΔABC и ΔA₁В₁С₁:

∠АВС = ∠А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁ (из условия).

Таким образом, ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.