№ 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Сделаем дополнительные построения:

Продолжим AD до точки K, так, что DK = AD. Продолжим A₁D₁ до точки K₁, так, что D₁K₁ = A₁D₁. В ΔADC и ΔDBK: AD = DK

∠ADC = ∠BDK (как вертикальные) BD = DC (т.к. AD — медиана)

Таким образом, ΔADC = ΔDBK по 1-му признаку, и ∠DAC = ∠DKB АС = BK.

Аналогично ΔA₁D₁C₁ = ΔD₁B₁K₁ и ∠D₁A₁C₁ = ∠D₁K₁B₁ А₁С₁ = B₁K₁. В ΔAВK и ΔA₁B₁K₁:

AK = A₁K₁ (т.к. AK = 2AD = 2AD = A₁K₁) ∠BAK = ∠B₁A₁K₁ (по условию)

∠BKA = ∠B₁K₁A₁ (т.к. ∠BKA = ∠KAC = ∠K₁A₁C₁ = ∠B₁K₁A₁), (∠KAC = ∠K₁A₁C₁ по условию)

Таким образом, ΔABK = ΔA₁B₁K₁ по 2-му признаку равенства треугольников, и АВ = А₁В₁, и BK = B₁K₁ = А₁С₁ = АС. Т.к. в ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ ВА = В₁А₁ АС = А₁С₁

∠ВAС = ∠В₁A₁С₁, то ΔАВС = ΔA₁В₁С₁. A₁B₁K₁ по 1-му признаку равенства треугольников.