№ 40*. Даны три положительных числа а, b, с, удовлетворяющие условиям а ≤ b ≤ с < а + b. Докажите последовательно утверждения:

1)

2) существует прямоугольный треугольник BCD, у которого гипотенуза ВС = а, а катет

3) треугольник АВС, у которого ВС = а, АВ = с, а расстояние BD равно

имеет сторону

1) Докажем, что для трех положительных чисел а, b, с, таких что

выполняется неравенство:

По условию

а значит

а так как а, b, с положительные числа, то

то есть

Рассмотрим разность

По условию

следовательно

следовательно

так как b -

положительное число так что

Чем доказано неравенство

2) Докажем, что существует прямоугольный

, у которого гипотенуза ВС = а, катет

Мы доказали, что

положительное число, причем

Можно построить отрезок

и отрезок

причем

так как

а отрезки

можно построить способом построения четвертого пропорционального отрезка. Следовательно, можно построить прямоугольный

(по катету и гипотенузе) с прямым углом D, катетом BD и гипотенузой ВС. 3) Докажем, что

в котором

а расстояние

имеет сторону

Рассмотрим прямоугольный

в котором

По теореме Пифагора отрезок

катет в

- тоже прямоугольный, так что

Так что AC=b Что и требовалось доказать.