№ 38*. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.

№ 38*. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.

1) Надо доказать, что если расстояние между центрами окружности 20 см, а радиусы 8 см и 11 см, то окружности находятся одна вне другой.

Примем

— центры окружностей, а

— их радиусы;

Допустим, что эти окружности имеют общую внутреннюю точку А, следовательно

Так как для любых трех точек расстояние между любыми двумя из них не больше суммы расстояний от них до третьей точки, то

так как

Получим

что неверно, а значит, окружности не имеют общих внутренних точек и лежат одна вне другой. 2) Надо доказать, что если

то окружность с центром

и радиусом

находится внутри второй окружности с центром

и радиусом

Первая окружность находится внутри второй, если все точки первой окружности являются внутренними точками второй окружности. Предположим, что существует точка В на первой окружности, которая лежит вне второй окружности. Следовательно

По неравенству треугольника для точек

получим:

Получили противоречие

Значит, все точки первой окружности являются внутренними точками второй окружности, то есть первая окружность лежит внутри второй.