№ 72*. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Даны отрезки

Необходимо построить трапецию ABCD (с основаниями AD и ВС, AD > ВС), такую, что

Допустим, что ABCD — искомая трапеция. Тогда на продолжении AD отложим отрезок DE = b. Следовательно, DBCE — параллелограмм, так как две его стороны ВС и DE параллельны и равны. Поэтому стороны BD и СЕ параллельны и равны:

Рассмотрим

План построения трапеции: 1) На произвольной прямой отложим отрезок AD = а. На продолжении AD отложим отрезок DE = b.

2) Построим

по известным сторонам

3) Через точку С проведем прямую, параллельную АЕ, и на этой прямой от точки С в ту же полуплоскость относительно СЕ, где и точка А, отложим отрезок СВ = b.

4) Получим четырехугольник ABCD. Докажем, что ABCD искомая трапеция.

(по построению). Так как

(по условию), то ABCD не является параллелограммом, а значит, является трапецией с основаниями AD = а, ВС = b (по построению). По построению диагональ

Так как BCED

— параллелограмм (его противоположные стороны ВС и DE по построению параллельны и равны), то

Значит, диагонали АС и BD равны соответственно

и следовательно, ABCD — искомая трапеция. Заметим, что задача имеет решения не всегда, а только в случае если можно построить

со сторонами в

Это возможно тогда и только тогда, когда одна сторона больше разности двух других и меньше суммы двух других, то есть, когда

+ b < d₂ + d₁. В этом случае

определяется однозначно и задача имеет единственное решение. В других случаях

построить нельзя и задача решений не имеет.