№ 71*. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

Пусть даны отрезки а, b, с, d, такие, что в трапеции ABCD с основаниями AD и ВС AD = а; ВС = b;

Пусть есть трапеция ABCD, удовлетворяющая таким условиям.

Проведем в трапеции ABCD прямую

пересекающую AD в точке К. Получим параллелограмм АВСК, в котором

Далее рассмотрим

Данный треугольник можно построить по трем известным сторонам. Тогда Построим трапецию ABCD по плану: 1. На произвольной прямой от точки А отложим отрезок

на этом отрезке от точки А отложим отрезок

2. Построим

со сторонами

3. Построим параллелограмм AKCB, для этого проведем через точки А и С прямые параллельные прямым СК и АК и пересекающиеся в точке В. Докажем, что получившийся четырехугольник ABCD — искомая трапеция. AD = а (по построению).

так как АВСК —

параллелограмм по построению. ВС = b (по построению). Если

— трапеция с основаниями

удовлетворяющими условию задачи.

(по построению). АВ = СК = с, так как АВСК — параллелограмм. Боковые стороны CD и АВ удовлетворяют условию задачи. Итак, ABCD — искомая трапеция. Заметим, что задача имеет решения только если можно построить

со сторонами

Это возможно тогда и только тогда, когда одна сторона меньше суммы двух других, но больше разности двух других, то есть, при условиях:

Так как в данной полуплоскости относительно KD можно построить только один

с заданными сторонами, то решение, то есть искомая трапеция, будет единственным.